Die Konzepte der fraktalen und fraktalen Geometrie, die Ende der 70er Jahre auftauchten, haben sich seit Mitte der 80er Jahre im Alltag von Mathematikern und Programmierern fest etabliert. Das Wort Fraktal leitet sich vom lateinischen Fraktus ab und bedeutet in Übersetzung aus Fragmenten. Es wurde 1975 von Benoit Mandelbrot vorgeschlagen, die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu bezeichnen, an denen er arbeitete. Die Geburt der fraktalen Geometrie ist normalerweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch The Fractal Geometry of Nature im Jahr 1977 verbunden. Seine Arbeiten verwendeten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875 bis 1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Aber nur in unserer Zeit war es möglich, ihre Arbeit in einem einzigen System zu kombinieren.
Die Rolle von Fraktalen in der Computergrafik ist heute ziemlich groß. Sie helfen zum Beispiel, wenn es erforderlich ist, unter Verwendung mehrerer Faktoren Linien und Oberflächen mit sehr komplexen Formen zu definieren. Aus Sicht der Computergrafik ist die fraktale Geometrie für die Erzeugung künstlicher Wolken, Berge und Meeresoberflächen unverzichtbar. Tatsächlich wurde ein Weg gefunden, komplexe nichteuklidische Objekte leicht darzustellen, deren Bilder den natürlichen sehr ähnlich sind.
Selbstähnlichkeit ist eine der Haupteigenschaften von Fraktalen. Im einfachsten Fall enthält ein kleiner Teil des Fraktals Informationen über das gesamte Fraktal. Die von Mandelbrot gegebene Definition eines Fraktals klingt folgendermaßen: "Ein Fraktal ist eine Struktur, die aus Teilen besteht, die in gewissem Sinne dem Ganzen ähnlich sind."

Es gibt eine große Anzahl mathematischer Objekte, die als Fraktale bezeichnet werden (Sierpinski-Dreieck, Koch-Schneeflocke, Peano-Kurve, Mandelbrot-Set und Lorentz-Attraktoren). Fraktale beschreiben mit großer Genauigkeit viele physikalische Phänomene und Formationen der realen Welt: Berge, Wolken, turbulente (Wirbel-) Strömungen, Wurzeln, Zweige und Blätter von Bäumen, Blutgefäße, die weit von einfachen geometrischen Formen entfernt sind. Zum ersten Mal sprach Benoit Mandelbrot in seiner wegweisenden Arbeit "The Fractal Geometry of Nature" über die fraktale Natur unserer Welt.
Der Begriff Fraktal wurde 1977 von Benoit Mandelbrot in seiner grundlegenden Arbeit "Fraktale, Form, Chaos und Dimension" eingeführt. Laut Mandelbrot kommt das Wort Fraktal von den lateinischen Wörtern Fraktus - Fraktional und Frangere - zu brechen, was die Essenz eines Fraktals als "gebrochene", unregelmäßige Menge widerspiegelt.

Klassifikation von Fraktalen.

Um die gesamte Vielfalt der Fraktale darzustellen, ist es zweckmäßig, auf ihre allgemein anerkannte Klassifikation zurückzugreifen. Es gibt drei Klassen von Fraktalen.

1. Geometrische Fraktale.

Fraktale dieser Klasse sind am anschaulichsten. Im zweidimensionalen Fall werden sie unter Verwendung einer Polylinie (oder Oberfläche im dreidimensionalen Fall) erhalten, die als Generator bezeichnet wird. In einem Schritt des Algorithmus wird jedes der Segmente, aus denen die Polylinie besteht, durch einen Polyliniengenerator in der entsprechenden Skala ersetzt. Durch endlose Wiederholung dieses Vorgangs wird ein geometrisches Fraktal erhalten.

Betrachten wir ein Beispiel für eines dieser fraktalen Objekte - die Koch-Triadenkurve.

Konstruktion einer Triaden-Koch-Kurve.

Nehmen Sie ein gerades Liniensegment der Länge 1. Nennen wir es samen... Teilen Sie den Samen in drei gleiche Teile mit einer Länge von 1/3, werfen Sie den Mittelteil weg und ersetzen Sie ihn durch eine unterbrochene Linie von zwei Gliedern mit einer Länge von 1/3.

Wir erhalten eine Polylinie bestehend aus 4 Links mit einer Gesamtlänge von 4/3 - so genannt erste Generation.

Um zur nächsten Generation der Koch-Kurve überzugehen, muss der mittlere Teil jeder Verbindung verworfen und ersetzt werden. Dementsprechend wird die Länge der zweiten Generation 16/9 betragen, die dritte - 64/27. Wenn wir diesen Prozess auf unbestimmte Zeit fortsetzen, wird das Ergebnis eine Dreiklang-Koch-Kurve sein.

Betrachten wir nun die heiligen Inseln der Koch-Triadenkurve und finden heraus, warum Fraktale "Monster" genannt wurden.

Erstens hat diese Kurve keine Länge - wie wir gesehen haben, tendiert ihre Länge mit der Anzahl der Generationen gegen unendlich.

Zweitens ist es unmöglich, eine Tangente an diese Kurve zu konstruieren - jeder ihrer Punkte ist ein Wendepunkt, an dem die Ableitung nicht existiert - diese Kurve ist nicht glatt.

Länge und Glätte sind die grundlegenden Eigenschaften von Kurven, die sowohl von der euklidischen Geometrie als auch von der Geometrie von Lobachevsky, Riemann, untersucht werden. Traditionelle Methoden der geometrischen Analyse erwiesen sich als nicht auf die Triadic Koch-Kurve anwendbar, so dass sich die Koch-Kurve als Monster herausstellte - ein "Monster" unter den glatten Bewohnern traditioneller Geometrien.

Bau des Harter-Haytway "Drachen".

Um ein anderes fraktales Objekt zu erhalten, müssen Sie die Konstruktionsregeln ändern. Das erzeugende Element seien zwei gleiche Segmente, die rechtwinklig verbunden sind. Ersetzen Sie bei der Nullgenerierung das Einheitensegment durch dieses Generierungselement, sodass die Ecke oben liegt. Wir können sagen, dass sich bei einem solchen Ersatz die Mitte der Verbindung verschiebt. Beim Aufbau der nächsten Generationen ist die Regel erfüllt: Das allererste Glied links wird durch ein Erzeugungselement ersetzt, so dass die Mitte des Glieds links von der Bewegungsrichtung verschoben wird, und beim Ersetzen der nächsten Glieder sollten sich die Verschiebungsrichtungen der Mittelpunkte der Segmente abwechseln. Die Abbildung zeigt die ersten Generationen und die 11. Generation der nach dem obigen Prinzip erstellten Kurve. Die Kurve, bei der n gegen unendlich tendiert, wird als Harter-Heitway-Drache bezeichnet.
In der Computergrafik ist die Verwendung geometrischer Fraktale erforderlich, um Bilder von Bäumen und Büschen zu erhalten. Zweidimensionale geometrische Fraktale werden verwendet, um volumetrische Texturen zu erstellen (Zeichnen auf der Oberfläche eines Objekts).

2.Algebraische Fraktale

Dies ist die größte Gruppe von Fraktalen. Sie werden mit nichtlinearen Prozessen in n-dimensionalen Räumen erhalten. Am meisten untersucht werden zweidimensionale Prozesse. Wenn man einen nichtlinearen iterativen Prozess als diskretes dynamisches System interpretiert, kann man die Terminologie der Theorie dieser Systeme verwenden: Phasenporträt, stationärer Prozess, Attraktor usw.
Es ist bekannt, dass nichtlineare dynamische Systeme mehrere stabile Zustände aufweisen. Der Zustand, in dem sich das dynamische System nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen befindet, hängt von seinem Ausgangszustand ab. Daher hat jeder stabile Zustand (oder, wie sie sagen, ein Attraktor) einen bestimmten Bereich von Anfangszuständen, aus denen das System notwendigerweise in die betrachteten Endzustände fällt. Somit ist der Phasenraum des Systems in Anziehungsbereiche von Attraktoren unterteilt. Wenn ein zweidimensionaler Raum ein Phasenraum ist, kann man durch Färben der Anziehungsbereiche mit verschiedenen Farben ein Farbphasenporträt dieses Systems erhalten (iterativer Prozess). Durch Ändern des Farbauswahlalgorithmus erhalten Sie komplexe fraktale Bilder mit bizarren mehrfarbigen Mustern. Eine Überraschung für Mathematiker war die Fähigkeit, mit primitiven Algorithmen sehr komplexe nicht triviale Strukturen zu erzeugen.

Mandelbrot eingestellt.

Betrachten Sie als Beispiel das Mandelbrot-Set. Der Algorithmus für seine Konstruktion ist recht einfach und basiert auf einem einfachen iterativen Ausdruck: Z \u003d Z [i] * Z [i] + C.wo Zi und C. - komplexe Variablen. Iterationen werden für jeden Startpunkt mit einem rechteckigen oder quadratischen Bereich durchgeführt - einer Teilmenge der komplexen Ebene. Der iterative Prozess wird fortgesetzt bis Z [i] geht nicht über den Kreis mit dem Radius 2 hinaus, dessen Mittelpunkt am Punkt (0,0) liegt (dies bedeutet, dass sich der Attraktor des dynamischen Systems im Unendlichen befindet) oder nach einer ausreichend großen Anzahl von Iterationen (z. B. 200-500). Z [i] konvergiert zu einem Punkt auf dem Kreis. Abhängig von der Anzahl der Iterationen, während derer Z [i] innerhalb des Kreises geblieben, können Sie die Farbe des Punktes einstellen C. (wenn ein Z [i] bleibt für eine ausreichend große Anzahl von Iterationen innerhalb des Kreises, der iterative Prozess wird beendet und dieser Rasterpunkt wird schwarz gefärbt).

3 stochastische Fraktale

Eine weitere bekannte Klasse von Fraktalen sind stochastische Fraktale, die erhalten werden, wenn einer ihrer Parameter in einem iterativen Prozess zufällig geändert wird. Gleichzeitig werden Objekte erhalten, die natürlichen Objekten sehr ähnlich sind - asymmetrische Bäume, eingerückte Küsten usw. Zweidimensionale stochastische Fraktale werden verwendet, um das Gelände und die Meeresoberfläche zu modellieren.
Es gibt andere Klassifikationen von Fraktalen, zum Beispiel die Unterteilung von Fraktalen in deterministisch (algebraisch und geometrisch) und nicht deterministisch (stochastisch).

Über die Verwendung von Fraktalen

Erstens sind Fraktale ein Bereich erstaunlicher mathematischer Kunst. Wenn man die einfachsten Formeln und Algorithmen verwendet, werden Bilder von außergewöhnlicher Schönheit und Komplexität erhalten! Blätter, Bäume und Blüten werden oft in den Konturen der konstruierten Bilder erraten.

Einige der leistungsstärksten Anwendungen von Fraktalen liegen in der Computergrafik. Erstens ist dies die fraktale Bildkomprimierung und zweitens die Konstruktion von Landschaften, Bäumen, Pflanzen und die Erzeugung fraktaler Texturen. Die moderne Physik und Mechanik fängt gerade erst an, das Verhalten fraktaler Objekte zu untersuchen. Und natürlich werden Fraktale direkt in der Mathematik selbst verwendet.
Die Vorteile von Algorithmen für die fraktale Bildkomprimierung sind eine sehr kleine Dateigröße und eine kurze Bildwiederherstellungszeit. Fraktal gepackte Bilder können ohne Pixelung skaliert werden. Der Komprimierungsprozess dauert jedoch lange und manchmal Stunden. Mit dem Algorithmus für verlustbehaftete fraktale Packung können Sie das Komprimierungsverhältnis ähnlich dem JPEG-Format einstellen. Der Algorithmus basiert auf der Suche nach großen Bildteilen, die einigen kleinen Bildstücken ähneln. Und in der Ausgabedatei wird nur das Stück geschrieben, das dem ähnlich ist. Beim Komprimieren wird normalerweise ein quadratisches Gitter (Teile - Quadrate) verwendet, was zu einer leichten Winkligkeit beim Wiederherstellen des Bildes führt. Das sechseckige Gitter weist diesen Nachteil nicht auf.
Iterated hat ein neues "Sting" -Bildformat entwickelt, das verlustfreie Komprimierung von Fraktal und Wellenform (z. B. JPEG) kombiniert. Mit dem neuen Format können Sie Bilder mit der Möglichkeit einer anschließenden hochqualitativen Skalierung erstellen. Das Volumen der Grafikdateien beträgt 15 bis 20% des Volumens unkomprimierter Bilder.
Die Tendenz von Fraktalen, Bergen, Blumen und Bäumen zu ähneln, wird von einigen Grafikeditoren ausgenutzt, z. B. Fraktalwolken aus dem 3D-Studio MAX, Fraktalberge in World Builder. Fraktale Bäume, Berge und ganze Landschaften werden durch einfache Formeln definiert, sind einfach zu programmieren und zerfallen beim Vergrößern nicht in separate Dreiecke und Würfel.
Es ist unmöglich, die Verwendung von Fraktalen in der Mathematik selbst zu ignorieren. In der Mengenlehre beweist die Cantor-Menge die Existenz perfekter nirgends dichter Mengen, in der Maßtheorie ist die selbstaffine Funktion "Cantor-Leiter" ein gutes Beispiel für die Verteilungsfunktion eines singulären Maßes.
In der Mechanik und Physik werden Fraktale aufgrund der einzigartigen Eigenschaft verwendet, die Umrisse vieler natürlicher Objekte zu wiederholen. Mit Fraktalen können Sie Bäume, Felsoberflächen und Risse mit einer höheren Genauigkeit als mit Approximationen durch Sätze von Linien oder Polygonen (für dieselbe Menge gespeicherter Daten) approximieren. Fraktale Modelle weisen wie natürliche Objekte eine "Rauheit" auf, und diese Eigenschaft bleibt bei einer beliebig großen Vergrößerung des Modells erhalten. Das Vorhandensein eines einheitlichen Maßes für Fraktale ermöglicht es, Integration und Potentialtheorie anzuwenden und sie anstelle von Standardobjekten in den bereits untersuchten Gleichungen zu verwenden.
Mit einem fraktalen Ansatz hört das Chaos auf, das Blau der Unordnung zu sein und nimmt eine subtile Struktur an. Die Fraktalwissenschaft ist noch sehr jung und hat eine große Zukunft vor sich. Die Schönheit von Fraktalen ist noch lange nicht erschöpft und wird uns immer noch viele Meisterwerke bescheren - jene, die das Auge erfreuen und jene, die dem Geist wahre Freude bereiten.

Über das Bauen von Fraktalen

Sukzessive Approximationsmethode

Wenn man dieses Bild betrachtet, ist es nicht schwer zu verstehen, wie ein selbstähnliches Fraktal (in diesem Fall die Sierpinski-Pyramide) konstruiert werden kann. Sie müssen eine gewöhnliche Pyramide (Tetraeder) nehmen und dann ihre Mitte (Oktaeder) ausschneiden, wodurch wir vier kleine Pyramiden erhalten. Wir führen mit jedem von ihnen die gleiche Operation durch usw. Dies ist eine etwas naive, aber visuelle Erklärung.

Betrachten wir das Wesentliche der Methode genauer. Es gebe ein IFS-System, d.h. Kontraktionskartierungssystem S.\u003d (S 1, ..., S m) S i: R n -\u003e R n (zum Beispiel haben die Abbildungen für unsere Pyramide die Form S i (x) \u003d 1/2 * x + oi, wobei oi die Eckpunkte des Tetraeders sind, i \u003d 1, .., 4). Dann wählen wir eine kompakte Menge A 1 in R n (in unserem Fall wählen wir einen Tetraeder). Und wir definieren durch Induktion die Folge von Mengen A k: A k + 1 \u003d S 1 (A k) U ... U S m (A k). Es ist bekannt, dass sich die Mengen A k mit zunehmendem k dem gesuchten Attraktor des Systems annähern S..

Beachten Sie, dass jede dieser Iterationen ein Attraktor ist wiederkehrendes System iterierter Funktionen (Englischer Begriff Digraph IFS, RIFS und auch Graphgesteuertes IFS) und sind daher mit unserem Programm einfach zu erstellen.

Zeichnen nach Punkten oder probabilistischer Methode

Dies ist die einfachste Methode, die auf einem Computer implementiert werden kann. Betrachten Sie der Einfachheit halber den Fall eines flachen selbstaffinen Satzes. Also lass (S.

) - ein System affiner Kontraktionen. Zuordnungen S.

darstellbar als: S.

Feste Matrixgröße 2x2 und o

Zweidimensionale Vektorsäule.

• Nehmen Sie den Fixpunkt der ersten Karte S 1 als Ausgangspunkt:
  x: \u003d o1;
  Hier nutzen wir die Tatsache, dass alle Fixpunkte der Kontraktionen S 1, .., S m zum Fraktal gehören. Als Ausgangspunkt können Sie einen beliebigen Punkt auswählen, und die von ihm erzeugte Folge von Punkten zieht sich zum Fraktal zusammen. Anschließend werden einige zusätzliche Punkte auf dem Bildschirm angezeigt.
• Markieren wir den aktuellen Punkt x \u003d (x 1, x 2) auf dem Bildschirm:
  Putpixel (x 1, x 2, 15);
• Wählen wir zufällig eine Zahl j von 1 bis m und berechnen die Koordinaten des Punktes x neu:
  j: \u003d zufällig (m) +1;
  x: \u003d S j (x);
• Wir fahren mit Schritt 2 fort, oder wenn wir eine ausreichend große Anzahl von Iterationen durchgeführt haben, hören wir auf.

Hinweis. Wenn die Kompressionsverhältnisse der Karten S i unterschiedlich sind, wird das Fraktal ungleichmäßig mit Punkten gefüllt. Wenn die Karten S i Ähnlichkeiten sind, kann dies vermieden werden, indem der Algorithmus leicht kompliziert wird. Hierzu muss im dritten Schritt des Algorithmus die Zahl j von 1 bis m mit Wahrscheinlichkeiten p 1 \u003d r 1 s, .., pm \u003d rms gewählt werden, wobei ri die Kompressionskoeffizienten der Abbildungen S i bezeichnet und die Zahl s (als Ähnlichkeitsdimension bezeichnet) ist aus der Gleichung r 1 s + ... + rms \u003d 1. Die Lösung dieser Gleichung kann zum Beispiel nach der Newtonschen Methode gefunden werden.

Über Fraktale und ihre Algorithmen

Das Fraktal kommt vom lateinischen Adjektiv "Fraktus" und bedeutet in der Übersetzung aus Fragmenten bestehend, und das entsprechende lateinische Verb "frangere" bedeutet brechen, dh unregelmäßige Fragmente erzeugen. Die Konzepte der fraktalen und fraktalen Geometrie, die Ende der 70er Jahre auftauchten, haben sich seit Mitte der 80er Jahre von Mathematikern und Programmierern fest etabliert. Der Begriff wurde 1975 von Benoit Mandelbrot geprägt, um sich auf die unregelmäßigen, aber selbstähnlichen Strukturen zu beziehen, mit denen er sich befasste. Die Geburt der fraktalen Geometrie ist normalerweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch "Die fraktale Geometrie der Natur" - "Fraktale Geometrie der Natur" im Jahr 1977 verbunden. Seine Arbeiten verwendeten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die zwischen 1875 und 1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorf).

Anpassungen

Ich werde mir erlauben, einige Anpassungen an den in dem Buch von H.-O. Peitgen und P. H. Richter "Die Schönheit der Fraktale" M. 1993 nur, um Tippfehler zu beseitigen und das Verständnis der Prozesse zu erleichtern, da mir nach dem Studium vieles ein Rätsel geblieben ist. Leider führen diese "verständlichen" und "einfachen" Algorithmen einen rockigen Lebensstil.

Die Konstruktion von Fraktalen basiert auf einer bestimmten nichtlinearen Funktion eines komplexen Prozesses mit Rückkopplung z \u003d\u003e z 2 + c, da z und c komplexe Zahlen sind. Dann ist z \u003d x + iy, c \u003d p + iq. Es ist notwendig, sie in x und y zu erweitern, um zu gehen ein Flugzeug, das für einen gewöhnlichen Menschen realer ist:

x (k + 1) \u003d x (k) 2 -y (k) 2 + p,
y (k + 1) \u003d 2 · x (k) · y (k) + q.

Die aus allen Paaren (x, y) bestehende Ebene kann wie für feste Werte betrachtet werden p und qund mit Dynamik. Wenn Sie im ersten Fall alle Punkte (x, y) der Ebene nach dem Gesetz sortieren und in Abhängigkeit von der Anzahl der Wiederholungen der Funktion, die zum Verlassen des iterativen Prozesses erforderlich ist, färben oder ohne Färbung (schwarz), wenn das zulässige Maximum an Wiederholungen überschritten wird, erhalten Sie eine Anzeige des Julia-Satzes. Wenn wir im Gegenteil das anfängliche Wertepaar (x, y) bestimmen und sein koloristisches Schicksal mit sich dynamisch ändernden Werten der Parameter p und q verfolgen, erhalten wir Bilder, die als Mandelbrot-Mengen bezeichnet werden.

Zur Frage der Algorithmen zum Färben von Fraktalen.

Normalerweise wird der Körper eines Satzes als schwarzes Feld dargestellt, obwohl es offensichtlich ist, dass die schwarze Farbe durch jede andere Farbe ersetzt werden kann, aber dies ist auch ein Ergebnis von geringem Interesse. Ein Bild eines in allen Farben gefärbten Satzes zu erhalten, ist eine Aufgabe, die seitdem nicht mit zyklischen Operationen gelöst werden kann Die Anzahl der Iterationen, die den Körper der Menge bilden, entspricht dem maximal möglichen Wert und ist immer gleich. Es ist möglich, die Menge in verschiedenen Farben zu färben, indem das Ergebnis der Überprüfung der Schleifenausgangsbedingung (z_magnitude) oder ähnliches angewendet wird, jedoch mit unterschiedlichen mathematischen Operationen als Farbnummer.

Anwendung des "Fraktalmikroskops"

grenzphänomene zu demonstrieren.

Attraktoren - Zentren, die im Flugzeug um die Vorherrschaft kämpfen. Zwischen den Attraktoren erscheint ein Rand, der ein verdrehtes Muster darstellt. Durch Erhöhen des Betrachtungsumfangs innerhalb der Grenzen der Menge können Sie nicht triviale Muster erhalten, die den Zustand des deterministischen Chaos widerspiegeln - ein in der natürlichen Welt weit verbreitetes Phänomen.

Die von Geographen untersuchten Objekte bilden ein System mit sehr komplex organisierten Grenzen, und daher wird ihre Implementierung zu keiner einfachen praktischen Aufgabe. Natürliche Komplexe haben typische Kerne, die als Attraktoren wirken und ihre Einflusskraft auf das Territorium verlieren, wenn es sich entfernt.

Mit einem Fraktalmikroskop für Mandelbrot- und Julia-Sets kann man sich eine Vorstellung von Grenzprozessen und -phänomenen machen, die unabhängig vom Untersuchungsmaßstab gleich komplex sind, und so die Wahrnehmung des Spezialisten auf ein Treffen mit einem dynamischen und scheinbar chaotischen natürlichen Objekt in Raum und Zeit vorbereiten, um die Fraktalgeometrie zu verstehen Natur. Die bunten Farben und die fraktale Musik werden definitiv einen tiefen Eindruck in den Köpfen der Schüler hinterlassen.

Tausende von Veröffentlichungen und riesigen Internetressourcen sind Fraktalen gewidmet, aber für viele Spezialisten, die weit von der Informatik entfernt sind, scheint dieser Begriff völlig neu zu sein. Fraktale sollten als Objekte, die für Fachleute auf verschiedenen Wissensgebieten von Interesse sind, einen angemessenen Platz im Informatikkurs erhalten.

Beispiele von

GRILLE SERPINSKY

Es ist eines der Fraktale, mit denen Mandelbrot experimentiert hat, als er die Konzepte der fraktalen Dimensionen und Iteration entwickelt hat. Dreiecke, die durch Verbinden der Mittelpunkte eines größeren Dreiecks gebildet werden, werden aus dem Hauptdreieck herausgeschnitten, um ein Dreieck mit mehr Löchern zu bilden. In diesem Fall ist der Initiator das große Dreieck und die Schablone ist der Vorgang des Schneidens von Dreiecken ähnlich dem größeren. Sie können auch eine dreidimensionale Version eines Dreiecks mit einem gewöhnlichen Tetraeder erhalten und kleine Tetraeder herausschneiden. Die Dimension eines solchen Fraktals beträgt ln3 / ln2 \u003d 1,584962501. Um zu bekommen sierpinski TeppichNehmen Sie ein Quadrat, teilen Sie es in neun Quadrate und schneiden Sie das mittlere aus. Wir werden dasselbe mit den restlichen, kleineren Quadraten machen. Am Ende wird ein flaches fraktales Netz gebildet, das keine Fläche hat, aber unendliche Verbindungen aufweist. In seiner räumlichen Form verwandelt sich der Sierpinski-Schwamm in ein System von Durchgangsformen, in dem jedes Durchgangselement ständig durch seine eigene Art ersetzt wird. Diese Struktur ist einem Knochenschnitt sehr ähnlich. Eines Tages werden solche sich wiederholenden Strukturen Teil von Gebäudestrukturen. Ihre Statik und Dynamik, sagt Mandelbrot, verdienen eine genaue Untersuchung.

KOHA-KURVE

Die Koch-Kurve ist eines der typischsten deterministischen Fraktale. Es wurde im neunzehnten Jahrhundert von einem deutschen Mathematiker namens Helge von Koch erfunden, der während seines Studiums der Arbeiten von Georg Kontor und Karl Weierstraße auf Beschreibungen einiger seltsamer Kurven mit ungewöhnlichem Verhalten stieß. Der Initiator ist eine gerade Linie. Der Generator ist ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seiten einem Drittel der Länge des größeren Segments entsprechen. Diese Dreiecke werden immer wieder in die Mitte jedes Segments eingefügt. In seiner Forschung experimentierte Mandelbrot viel mit Koch-Kurven und erhielt Zahlen wie die Koch-Inseln, Koch-Kreuze, Koch-Schneeflocken und sogar dreidimensionale Darstellungen der Koch-Kurve unter Verwendung eines Tetraeders und Hinzufügen kleinerer Tetraeder zu jeder ihrer Flächen. Die Koch-Kurve hat die Dimension ln4 / ln3 \u003d 1,261859507.

FRAKTALER MANDELBROTH

Dies ist NICHT das Mandelbrot-Set, das Sie oft genug sehen. Die Mandelbrot-Menge basiert auf nichtlinearen Gleichungen und ist ein komplexes Fraktal. Dies ist auch eine Variante der Koch-Kurve, obwohl dieses Objekt nicht so aussieht. Der Initiator und der Generator unterscheiden sich auch von denen, die zum Erstellen von Fraktalen nach dem Koch-Kurvenprinzip verwendet werden, aber die Idee bleibt dieselbe. Anstatt gleichseitige Dreiecke an ein Kurvensegment anzuhängen, werden Quadrate an ein Quadrat angehängt. Aufgrund der Tatsache, dass dieses Fraktal für jede Iteration genau die Hälfte des zugewiesenen Raums einnimmt, hat es eine einfache fraktale Dimension von 3/2 \u003d 1,5.

DARERS PENTAGON

Das Fraktal sieht aus wie ein Bündel zusammengepresster Pentagone. Tatsächlich wird es unter Verwendung eines Fünfecks als Initiator und gleichschenkliger Dreiecke gebildet, wobei das Verhältnis der größeren Seite zur kleineren Seite genau dem sogenannten goldenen Schnitt (1,618033989 oder 1 / (2cos72)) als Generator entspricht. Diese Dreiecke werden aus der Mitte jedes Fünfecks herausgeschnitten, was zu einer Form führt, die aussieht wie 5 kleine Fünfecke, die auf ein großes geklebt sind. Eine Variante dieses Fraktals kann unter Verwendung eines Sechsecks als Initiator erhalten werden. Dieses Fraktal heißt Davidstern und ist der sechseckigen Version von Kochs Schneeflocke ziemlich ähnlich. Die fraktale Dimension des Darer-Fünfecks ln6 / ln (1 + g), wobei g das Verhältnis der Länge der größeren Seite des Dreiecks zur Länge der kleineren ist. In diesem Fall ist g der goldene Anteil, sodass die fraktale Dimension ungefähr 1,86171596 beträgt. Fraktale Dimension des Davidsterns ln6 / ln3 oder 1.630929754.

Komplexe Fraktale

Wenn Sie einen kleinen Bereich eines komplexen Fraktals vergrößern und dann dasselbe mit einem kleinen Bereich dieses Bereichs tun, unterscheiden sich die beiden Vergrößerungen erheblich voneinander. Die beiden Bilder sind im Detail sehr ähnlich, aber nicht vollständig identisch.

Abb. 1. Annäherung des Mandelbrot-Sets

Vergleichen Sie zum Beispiel die hier gezeigten Bilder des Mandelbrot-Sets, von denen eines durch Vergrößern eines bestimmten Bereichs des anderen erhalten wurde. Wie Sie sehen können, sind sie absolut nicht identisch, obwohl wir auf beiden einen schwarzen Kreis sehen, von dem aus flammende Tentakel in verschiedene Richtungen gehen. Diese Elemente werden im Mandelbrot-Satz in abnehmendem Verhältnis auf unbestimmte Zeit wiederholt.

Deterministische Fraktale sind linear, komplexe Fraktale nicht. Diese Fraktale sind zwar nichtlinear, werden jedoch durch das erzeugt, was Mandelbrot als nichtlineare algebraische Gleichungen bezeichnet. Ein gutes Beispiel ist der Prozess Zn + 1 \u003d ZnI + C, bei dem es sich um die Gleichung handelt, mit der die Mandelbrot- und Julia-Mengen zweiten Grades konstruiert werden. Die Lösung dieser mathematischen Gleichungen beinhaltet komplexe und imaginäre Zahlen. Wenn eine Gleichung auf einer komplexen Ebene grafisch interpretiert wird, ist das Ergebnis eine seltsame Figur, in der sich gerade Linien in Kurven verwandeln und Selbstähnlichkeitseffekte auf verschiedenen Skalierungsstufen auftreten, wenn auch nicht ohne Verformungen. Darüber hinaus ist das gesamte Bild unvorhersehbar und sehr chaotisch.

Wie Sie beim Betrachten der Bilder sehen können, sind komplexe Fraktale sehr komplex und können nicht ohne die Hilfe eines Computers erstellt werden. Für farbenfrohe Ergebnisse muss dieser Computer über einen leistungsstarken mathematischen Coprozessor und einen hochauflösenden Monitor verfügen. Im Gegensatz zu deterministischen Fraktalen werden komplexe Fraktale nicht in 5-10 Iterationen berechnet. Fast jeder Punkt auf einem Computerbildschirm ist wie ein separates Fraktal. Während der mathematischen Verarbeitung wird jeder Punkt als separate Zeichnung behandelt. Jeder Punkt entspricht einem bestimmten Wert. Die Gleichung wird eingebaut, auf jeden Punkt angewendet und beispielsweise 1000 Iterationen durchgeführt. Um ein relativ unverzerrtes Bild für einen für Heimcomputer akzeptablen Zeitraum zu erhalten, ist es möglich, 250 Iterationen für einen Punkt durchzuführen.

Die meisten Fraktale, die wir heute sehen, sind wunderschön gefärbt. Vielleicht haben fraktale Bilder gerade aufgrund ihrer Farbschemata einen so großen ästhetischen Wert gewonnen. Nachdem die Gleichung berechnet wurde, analysiert der Computer die Ergebnisse. Wenn die Ergebnisse stabil sind oder um einen bestimmten Wert schwanken, wird der Punkt normalerweise schwarz. Wenn der Wert bei dem einen oder anderen Schritt gegen unendlich tendiert, wird der Punkt in einer anderen Farbe übermalt, möglicherweise blau oder rot. Während dieses Vorgangs weist der Computer allen Geschwindigkeiten Farben zu.

Normalerweise sind sich schnell bewegende Punkte rot gefärbt, während langsamere gelb gefärbt sind und so weiter. Die dunklen Flecken sind wahrscheinlich die stabilsten.

Komplexe Fraktale unterscheiden sich von deterministischen Fraktalen in dem Sinne, dass sie unendlich komplex sind, aber gleichzeitig durch eine sehr einfache Formel erzeugt werden können. Deterministische Fraktale benötigen keine Formeln oder Gleichungen. Nehmen Sie einfach Zeichenpapier und Sie können problemlos ein Sierpinski-Sieb mit bis zu 3 oder 4 Iterationen bauen. Probieren Sie es mit viel Julia! Einfacher, die Länge der englischen Küste zu messen!

MANDELBROTH SET

Abb. 2. Mandelbrot-Set

Die Mandelbrot- und Julia-Sets sind wahrscheinlich die beiden häufigsten unter komplexen Fraktalen. Sie sind in vielen wissenschaftlichen Zeitschriften, Buchumschlägen, Postkarten und Computer-Bildschirmschonern zu finden. Das Mandelbrot-Set, das von Benoit Mandelbrot gebaut wurde, ist wahrscheinlich die erste Assoziation, die Menschen haben, wenn sie das Wort Fraktal hören. Dieses kartenartige Fraktal mit brennendem Baum und daran befestigten kreisförmigen Bereichen wird durch die einfache Formel Zn + 1 \u003d Zna + C erzeugt, wobei Z und C komplexe Zahlen sind und a eine positive Zahl ist.

Das am häufigsten gesehene Mandelbrot-Set ist das Mandelbrot-Set 2. Grades, dh a \u003d 2. Die Tatsache, dass die Mandelbrot-Menge nicht nur Zn + 1 \u003d ZnІ + C ist, sondern auch ein Fraktal, dessen Exponent in der Formel eine beliebige positive Zahl sein kann, hat viele irregeführt. Auf dieser Seite sehen Sie ein Beispiel für die Mandelbrot-Menge für verschiedene Werte des Exponenten a.
Abb. 3. Das Auftreten von Blasen bei a \u003d 3,5

Beliebt ist auch der Prozess Z \u003d Z * tg (Z + C). Durch Aktivieren der Tangentenfunktion erhalten Sie ein Mandelbrot-Set, das von einem apfelähnlichen Bereich umgeben ist. Durch Verwendung der Kosinusfunktion werden Luftblaseneffekte erhalten. Kurz gesagt, es gibt unendlich viele Möglichkeiten, das Mandelbrot-Set anzupassen, um verschiedene schöne Bilder zu erhalten.

VIEL JULIA

Überraschenderweise werden Julia-Sets nach der gleichen Formel wie das Mandelbrot-Set gebildet. Das Julia-Set wurde vom französischen Mathematiker Gaston Julia erfunden, nach dem das Set benannt wurde. Die erste Frage, die sich nach einer visuellen Bekanntschaft mit den Mandelbrot- und Julia-Sets stellt, lautet: "Wenn beide Fraktale nach derselben Formel generiert werden, warum sind sie dann so unterschiedlich?" Schauen Sie sich zuerst die Bilder des Julia-Sets an. Seltsamerweise gibt es verschiedene Arten von Julia-Sets. Beim Zeichnen eines Fraktals mit unterschiedlichen Startpunkten (um den Iterationsprozess zu starten) werden unterschiedliche Bilder generiert. Dies gilt nur für das Julia-Set.

Abb. 4. Die Menge von Julia

Obwohl es auf dem Bild nicht zu sehen ist, ist das Mandelbrot-Fraktal tatsächlich eine Reihe von Julia-Fraktalen, die miteinander verbunden sind. Jeder Punkt (oder jede Koordinate) des Mandelbrot-Satzes entspricht einem Julia-Fraktal. Julia-Mengen können unter Verwendung dieser Punkte als Anfangswerte in der Gleichung Z \u003d ZI + C erzeugt werden. Dies bedeutet jedoch nicht, dass Sie ein Julia-Fraktal erhalten können, wenn Sie einen Punkt auf dem Mandelbrot-Fraktal auswählen und erhöhen. Diese beiden Punkte sind identisch, jedoch nur im mathematischen Sinne. Wenn Sie diesen Punkt nehmen und mit dieser Formel berechnen, können Sie ein Julia-Fraktal erhalten, das einem bestimmten Punkt des Mandelbrot-Fraktals entspricht.

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Autoren:
Bekbulatova Alina,
Getmanova Sophia

Führungskräfte:
Mogutova Tatiana Mikhailovna,
Deryushkina Oksana Valerievna

Einführung.

Theoretischer Teil des Projekts:

• Die Geschichte der Entwicklung der fraktalen Geometrie.
• Fraktales Konzept.
• Arten von Fraktalen:

a) geometrische Fraktale, Beispiele für geometrische Fraktale;
b) algebraische Fraktale, Beispiele für algebraische Fraktale;
c) stochastische Fraktale, Beispiele.

• Natürliche Fraktale.
• Praktische Anwendung von Fraktalen:
• in der Literatur;
• in der Telekommunikation;
• in Behandlung;
• in der Architektur;
• im Design;
• in Wirtschaft;
• in Spielen, Filmen, Musik
• in den Naturwissenschaften
• in der Physik;
• in der Biologie
• fraktale für Hausfrauen
• moderne Gemälde - fraktale Grafiken.
• Fraktale Grafiken.
• Die Rolle der fraktalen Geometrie im Leben ist eine Hymne an Fraktale!

Der praktische Teil der Arbeit an einem Projekt

• Erstellung einer wissenschaftlichen Arbeit "Reise in die Welt der Fraktale"
• Platzierung im Internet.
• Teilnahme an Olympiaden, Wettbewerben.
• Erstellen Sie Ihre eigenen Fraktale.
• Erstellung der Broschüre "The Amazing World of Fractals"
• Abhaltung des Festivals „Die erstaunliche Welt der Fraktale.

Einführung

Die Geometrie wird oft als kalt und trocken bezeichnet. Einer der Gründe ist die Unfähigkeit, alles zu beschreiben, was uns umgibt: die Form einer Wolke, eines Berges, eines Baumes oder der Küste. Wolken sind keine Kugeln, Berge sind keine Zapfen, Küstenlinien sind keine Kreise, und die Kruste ist nicht glatt und der Blitz bewegt sich nicht in einer geraden Linie. Mit großer Freude haben wir gelernt, dass es in der modernen Welt eine neue Geometrie gibt - die Geometrie der Fraktale.

Die Entdeckung von Fraktalen revolutionierte nicht nur die Geometrie, sondern auch die Physik, Chemie und Biologie in allen Bereichen unseres Lebens.

Relevanz des Projekts:

• Die Rolle der Fraktale in der modernen Welt ist ziemlich groß
• Überzeugende Argumente für die Relevanz der Untersuchung von Fraktalen sind die Breite ihrer Anwendung.

Forschungshypothese:

Die fraktale Geometrie ist ein modernes, sehr interessantes Gebiet menschlichen Wissens. Die Entstehung der fraktalen Geometrie ist ein Beweis für die fortschreitende Entwicklung des Menschen und die Erweiterung seiner Art, die Welt zu kennen.

Ziel des Projekts:

Untersuchung der Fraktaltheorie zur Erstellung einer wissenschaftlichen Arbeit "The Amazing World of Fractals" und Entwicklung und Implementierung von Algorithmen zum Zeichnen von Fraktalen in einer Ebene auf einem Computer.

Projektziele:

• Machen Sie sich mit der Entstehungs- und Entwicklungsgeschichte der fraktalen Geometrie vertraut.
• Studieren Sie die Arten von Fraktalen, ihre Anwendung in der modernen Welt.
• Führen Sie Programme zum Erstellen von Fraktalen in den Programmiersprachen Pascal und Logo aus
• Erstellen Sie eine wissenschaftliche Arbeit über Fraktale und veröffentlichen Sie sie im Internet.
• Erstellen Sie eine Broschüre "The Amazing World of Fractals"
• Ein Festival "Die erstaunliche Welt der Fraktale" abzuhalten, um die Schüler mit den Ergebnissen unserer Arbeit vertraut zu machen.

Wir arbeiten seit 4 Monaten an dem Projekt.

Die Hauptphasen unserer Arbeit:

• Sammeln der notwendigen Informationen: Nutzung des Internets, Bücher, Veröffentlichungen zu diesem Thema. (2 Wochen)
• Sortieren von Informationen nach Themen: Systematisieren und Bestimmen der Reihenfolge des Schreibens der Arbeit. Die Arbeit dauerte 2 Wochen.
• Verfassen einer Textarbeit: Schreiben eines Textes, teilweise Registrierung systematisierter Informationen. Es dauerte einen Monat.
• Erstellung einer Präsentation: Komprimierung systematisierter Informationen, Festlegung der Struktur der Präsentation, ihrer Erstellung und Gestaltung, und innerhalb eines Monats.
• Studieren des Programms zum Erstellen von Fraktalen und Erstellen eigener Fraktale in den Programmiersprachen Pascal und Logo (bis heute)

Der theoretische Teil des Projekts

Wir haben die Geschichte der Entstehung fraktaler Geometrie untersucht.

Das Interesse an fraktalen Objekten belebte sich Mitte der 70er Jahre des 20. Jahrhunderts.

Die Geburt der fraktalen Geometrie ist normalerweise mit der Veröffentlichung von Mandelbrots Buch The Fractal Geometry of Nature im Jahr 1977 verbunden. Seine Arbeiten verwendeten die wissenschaftlichen Ergebnisse anderer Wissenschaftler, die in der Zeit von 1875 bis 1925 auf demselben Gebiet arbeiteten (Poincaré, Fatou, Julia, Cantor, Hausdorff Aber nur in unserer Zeit war es möglich, ihre Arbeit in einem einzigen System zu kombinieren.

Was ist ein Fraktal?

Fraktal - eine geometrische Figur, die aus mehreren Teilen besteht, von denen jedes der gesamten Figur ähnlich ist.

Ein kleiner Teil des Fraktals enthält Informationen über das gesamte Fraktal.Heutzutage bedeutet das Wort "Fraktal" meistens eine grafische Darstellung einer Struktur, die sich selbst in größerem Maßstab ähnelt.

Fraktale werden in geometrische, geometrische und stochastische unterteilt.

Geometrische Fraktale werden auf andere Weise als klassisch bezeichnet. Sie sind am offensichtlichsten, da sie die sogenannte starre Selbstähnlichkeit haben, die sich nicht ändert, wenn die Skala geändert wird. Dies bedeutet, dass Sie unabhängig davon, wie stark Sie das Fraktal vergrößern, immer noch dasselbe Muster sehen.

Hier sind die bekanntesten Beispiele für geometrische Fraktale.

Kochs Schneeflocke.

1904 vom deutschen Mathematiker Helge von Koch erfunden.

Um es zu bauen, wird ein Einheitensegment genommen, das in drei gleiche Teile unterteilt ist, und das mittlere Glied wird durch ein gleichseitiges Dreieck ohne dieses Glied ersetzt. Im nächsten Schritt wiederholen wir die Operation für jedes der vier resultierenden Segmente. Durch endlose Wiederholung dieses Vorgangs wird eine fraktale Kurve erhalten.

Dürers Fünfeck.

Das Fraktal sieht aus wie ein Bündel zusammengepresster Pentagone. Tatsächlich wird es unter Verwendung eines Fünfecks als Initiator und gleichschenkliger Dreiecke gebildet, wobei das Verhältnis der größeren Seite zur kleineren genau das sogenannte goldene Verhältnis ist. Diese Dreiecke werden aus der Mitte jedes Fünfecks geschnitten, was zu einer Figur führt, die wie 5 kleine Fünfecke aussieht, die auf eins geklebt sind groß.

Sierpinski Serviette.

Der polnische Mathematiker Vaclav Sierpinski kam 1915 auf ein interessantes Objekt.

Um es zu konstruieren, wird ein festes gleichseitiges Dreieck genommen. Der erste Schritt entfernt ein umgekehrtes gleichseitiges Dreieck aus der Mitte. Der zweite Schritt entfernt drei umgekehrte Dreiecke aus den drei verbleibenden Dreiecken und so weiter.

Drachenkurve.

Erfunden vom italienischen Mathematiker Giuseppe Peano.

Sierpinski Teppich.

Es wird ein Quadrat genommen, das in neun gleiche Quadrate unterteilt ist, deren Mitte weggeworfen wird, und mit dem Rest wird dieselbe Operation ad infinitum wiederholt.

Die zweite Art von Fraktalen sind algebraische Fraktale.

Sie haben ihren Namen bekommen, weil sie auf algebraischen Formeln basieren. Durch die mathematische Verarbeitung dieser Formel wird ein Punkt einer bestimmten Farbe auf dem Bildschirm angezeigt. Das Ergebnis ist eine seltsame Figur, in der gerade Linien zu Kurven werden. Effekte der Selbstähnlichkeit treten auf verschiedenen Skalierungsstufen auf. Fast jeder Punkt auf einem Computerbildschirm ist wie ein separates Fraktal.

Beispiele der bekanntesten algebraischen Fraktale.

Mandelbrot gesetzt.

Mandelbrot-Mengen sind unter algebraischen Fraktalen am häufigsten. Es ist in vielen wissenschaftlichen Zeitschriften, Buchumschlägen, Postkarten und Bildschirmschonern zu finden. Dies ist ein kartenähnliches Fraktal mit leuchtendem Baum und kreisförmigen Bereichen.

Julias Set.

Das Julia-Set wurde vom französischen Mathematiker Gaston Julia erfunden. Nicht weniger berühmtes algebraisches Fraktal.

Pools von Newton.

Stochastische Fraktale.

Fraktale, bei deren Konstruktion einige Parameter in einem iterativen System zufällig geändert werden, werden als stochastisch bezeichnet. Der Begriff "Stochastizität" kommt vom griechischen Wort für "Spekulation".

Gleichzeitig werden Objekte erhalten, die natürlichen Objekten sehr ähnlich sind - asymmetrische Bäume, eingerückte Küsten usw. Zweidimensionale stochastische Fraktale werden verwendet, um das Gelände und die Meeresoberfläche zu modellieren.

Diese Fraktale werden zur Modellierung des Geländes und der Meeresoberfläche sowie des Elektrolyseprozesses verwendet. Diese Gruppe von Fraktalen hat sich dank der Arbeit von Michael Barnsley vom Georgia Institute of Technology verbreitet.
Ein typischer Vertreter dieser Klasse von Fraktalen "Plasma".

Am verständlichsten für uns sind die sogenannten natürlichen Fraktale.

"Das große Buch der Natur ist in der Sprache der Geometrie geschrieben" (Galileo Galilei).

Natürliche Fraktale.

• In der Tierwelt:
• Seesterne und Seeigel
• Blumen und Pflanzen (Brokkoli, Kohl)
• Kronen von Bäumen und Blätter von Pflanzen
• Obst (Ananas)
• Das Kreislaufsystem und die Bronchien von Mensch und Tier
• In lebloser Natur:
• Grenzen geografischer Objekte (Länder, Regionen, Städte)
• Frostige Muster auf Fensterscheiben
• Stalaktiten, Stalagmiten, Heliktiten.

Fast alle natürlichen Formationen: Baumkronen, Wolken, Berge, Küsten haben eine fraktale Struktur.
Was bedeutet das?

Wenn Sie ein fraktales Objekt als Ganzes betrachten, dann einen Teil davon in größerem Maßstab, dann einen Teil dieses Teils, ist es leicht zu erkennen, dass sie gleich aussehen.

Marine Fraktale.

Der Oktopus ist ein benthisches Meerestier aus der Ordnung der Kopffüßer.

Sein Körper und die Saugnäpfe an allen acht Tentakeln dieses Tieres haben eine fraktale Struktur.

Koralle ist ein weiterer typischer Vertreter der fraktalen Unterwasserwelt.

In der Natur sind über 3500 Korallenarten bekannt.

Grüne fraktale Farnblätter.

Farnblätter haben die Form einer fraktalen Form - sie sind selbstähnlich.

Ein Bogen ist ein Fraktal, das dich zum Weinen bringt. Natürlich ist es ein einfaches Fraktal: gewöhnliche Kreise mit unterschiedlichen Durchmessern, man könnte sogar ein primitives Fraktal sagen.

Ein bemerkenswertes Beispiel für ein Fraktal in der Natur ist Romanescu", Sie ist" romanischer Brokkoli "oder" Blumenkohl ".

Blumenkohl- typisches Fraktal.

Betrachten Sie die Struktur des Blumenkohls.

Wenn Sie eine der Blumen schneiden, ist es offensichtlich, dass derselbe Blumenkohl in Ihren Händen bleibt, nur von geringerer Größe. Sie können auch unter dem Mikroskop immer wieder schneiden - wir erhalten jedoch nur winzige Kopien des Blumenkohls.

Matroschka - Spielzeug-Souvenir ist ein typisches Fraktal. Das Prinzip der Fraktalität ist offensichtlich, wenn alle Figuren eines Holzspielzeugs in einer Reihe stehen und nicht ineinander verschachtelt sind.

Der Mensch ist ein Fraktal.

Ein Kind wird geboren, wächst auf und dieser Prozess wird vom Prinzip der "Selbstähnlichkeit", der Fraktalität, begleitet.

Der Anwendungsbereich von Fraktalen ist breit.

Fraktale in der Literatur

Unter den literarischen Werken gibt es solche, die textlichen, strukturellen oder fraktalen Charakter haben. In literarischen Fraktalen werden Elemente des Textes endlos wiederholt:

Der Priester hatte einen Hund
er liebte sie.
Sie aß ein Stück Fleisch
er hat sie getötet.
Ich habe es im Boden vergraben
Die Bildunterschrift schrieb:
Der Priester hatte einen Hund ...

„Hier ist das Haus.
Dieser Jack hat gebaut.
Und hier ist der Weizen.

Im Haus,
Dieser Jack hat gebaut
Und hier ist eine lustige Vogelmeise,
Wer stiehlt klug Weizen
Welches in einem dunklen Schrank aufbewahrt wird
Im Haus,
Welcher Jack gebaut hat ... " .

Fraktale in der Telekommunikation.

Fraktale Antennen werden verwendet, um Daten über Entfernungen zu übertragen, wodurch ihre Größe und ihr Gewicht erheblich reduziert werden.

Fraktale in der Medizin.

Derzeit sind Fraktale in der Medizin weit verbreitet. Der menschliche Körper selbst besteht aus vielen fraktalen Strukturen: dem Kreislaufsystem, Muskeln, Bronchien, Bronchialwegen in der Lunge, Arterien.

Die Fraktaltheorie wird zur Analyse von Elektrokardiogrammen verwendet.

Die Beurteilung der Größe und des Rhythmus der fraktalen Dimension ermöglicht es, in einem früheren Stadium und mit größerer Genauigkeit und größerem Informationsgehalt über Verstöße gegen die Homöostase und die Entwicklung spezifischer Herzerkrankungen zu urteilen.

Mit fraktalen Algorithmen verarbeitete Röntgenbilder liefern ein besseres Bild und dementsprechend eine bessere Diagnose !!

Ein weiterer Bereich der aktiven Verwendung von Fraktalen ist die Gastroenterologie.

Die Elektrogastroenterographie, eine neue Forschungsmethode in der Medizin, ist eine Forschungsmethode, mit der die bioelektrische Aktivität von Magen, Zwölffingerdarm und anderen Teilen des Magen-Darm-Trakts beurteilt werden kann.

Fraktale in der Architektur.

Das fraktale Prinzip der Entwicklung natürlicher und geometrischer Objekte dringt tief in die Architektur ein, sowohl als Bild der äußeren Lösung eines Objekts als auch als inneres Prinzip der architektonischen Gestaltung.

Designer aus aller Welt haben angefangen in ihren Arbeiten wunderbare fraktale Strukturen zu verwenden, die erst kürzlich von prominenten Mathematikern beschrieben wurden.

Die Verwendung von Fraktalen hat fast alle Bereiche des modernen Designs auf ein neues Niveau gebracht.

Die Einführung fraktaler Strukturen hat in vielen Fällen sowohl die visuellen als auch die funktionalen Aspekte des Designs erhöht.

Designer Takeshi Miyakawa träumte davon, als Kind Mathematiker zu werden.

Wie man dieses Möbelstück noch erklärt: Der Nachttisch Fractal 23 enthält 23 Schubladen in verschiedenen Größen und Proportionen, die es irgendwie schaffen, in einem kubischen Gehäuse miteinander zu koexistieren und fast den gesamten verfügbaren Raum auszufüllen.

Fraktale in der Wirtschaft.

In jüngster Zeit sind Fraktale bei Ökonomen beliebt geworden, um den Wechselkurs von Börsen, Währungen und Handelsmärkten zu analysieren.
Fraktale erscheinen ziemlich oft auf dem Markt.

Fraktale in Spielen.

Heutzutage werden in vielen Spielen (vielleicht das auffälligste Beispiel für Minecraft), in denen verschiedene Arten von Naturlandschaften vorhanden sind, fraktale Algorithmen auf die eine oder andere Weise verwendet. Eine große Anzahl von Programmen wurde erstellt, um Landschaften und Landschaften basierend auf fraktalen Algorithmen zu erzeugen.

Fraktale im Kino.

Im Kino wird ein fraktaler Algorithmus verwendet, um verschiedene fantastische Landschaften zu erstellen. Mit der fraktalen Geometrie können Spezialeffektkünstler auf einfache Weise Objekte wie Wolken, Rauch, Flammen, Sterne und mehr erstellen. Was können wir dann über fraktale Animation sagen, das ist ein wirklich erstaunlicher Anblick.

Elektronische Musik.

Das Spektakel der fraktalen Animation wird von VJs erfolgreich eingesetzt. Besonders häufig werden solche Videoinstallationen bei Konzerten von Interpreten elektronischer Musik verwendet.

Naturwissenschaften.

Fraktale werden häufig in der Geologie und Geophysik verwendet. Es ist kein Geheimnis, dass die Küsten von Inseln und Kontinenten eine bestimmte fraktale Dimension haben, wenn man weiß, welche man die Länge der Küsten sehr genau berechnen kann.

Das Studium der Fehlertektonik und Seismizität wird manchmal auch mit fraktalen Algorithmen untersucht.

Die Geophysik verwendet Fraktale und Fraktalanalysen, um Magnetfeldanomalien zu untersuchen, die Ausbreitung von Wellen und Schwingungen in elastischen Medien zu untersuchen, das Klima und viele andere Dinge zu untersuchen.

Fraktale in der Physik.

In der Physik werden Fraktale sehr häufig verwendet. In der Physik von Festkörpern können Sie mit fraktalen Algorithmen die Eigenschaften von Festkörpern, porösen, schwammigen Körpern und Aerogelen genau beschreiben und vorhersagen. Dies hilft bei der Schaffung neuer Materialien mit ungewöhnlichen und nützlichen Eigenschaften.
Ein Beispiel für einen Feststoff sind Kristalle.

Die Untersuchung von Turbulenzen in Strömungen passt sich sehr gut an Fraktale an.

Die Umstellung auf fraktale Repräsentation erleichtert es Ingenieuren und Physikern, die Dynamik komplexer Systeme besser zu verstehen.
Mit Hilfe von Fraktalen können Sie auch Flammen modellieren.

Fraktale in der Biologie.

In der Biologie werden sie verwendet, um Populationen zu modellieren und Systeme innerer Organe (das Blutgefäßsystem) zu beschreiben. Nach der Erstellung der Koch-Kurve wurde vorgeschlagen, diese bei der Berechnung der Küstenlänge zu verwenden.

Fraktale für Hausfrauen.

Übertragen Sie die Theorie der Fraktale ganz einfach auf Ihr Zuhause, einschließlich der Küche.

Das Ergebnis der Anwendung kann alles sein: fraktale Ohrringe, fraktale köstliche Leber und vieles mehr. Sie müssen nur Wissen und Einfallsreichtum verbinden!

Fraktale Grafiken sind in der modernen Welt weit verbreitet. Beliebte Gemälde sind das Ergebnis fraktaler Grafiken.

Und das ist kein Zufall. Bewundern Sie die Schönheit fraktaler Grafiken!

Der praktische Teil des Projekts

• Erstellt eine wissenschaftliche Arbeit "Reise in die Welt der Fraktale"
• Wir haben Programme zum Erstellen von Fraktalen in den Programmiersprachen Pascal und Logo studiert
• Wir haben unsere eigenen Fraktale erstellt.
• Hergestellt mit unseren eigenen Händen "Sierpinski Serviette" und "Sierpinski Teppich"
• Gemachte "Fraktale Ohrringe"
• Erstellt einen Zyklus von Gemälden "Wunder der fraktalen Grafik"
• Veröffentlichung der Arbeit "Reise in die Welt der Fraktale" im Internet.
• Teilnahme an der Arbeit "Eine Reise in die Welt der Fraktale" bei der VII. Allrussischen Olympiade für Schüler und Studenten "Science 2.0" zum Thema "Mathematik". Wir haben den ersten Platz gewonnen.
• Teilnahme an der Arbeit "Reise in die Welt der Fraktale" im allrussischen Wettbewerb "Große Entdeckungen und Erfindungen". Wir haben den ersten Platz gewonnen.
• Teilnahme an der Arbeit "Reise in die Welt der Fraktale" bei der VIII. Allrussischen Olympiade für Schüler und Studenten "Ich bin ein Forscher" im akademischen Fach Mathematik. Wir haben den ersten Platz gewonnen.
• Erstellt eine Präsentation "Die erstaunliche Welt der Fraktale"
• Erstellt Broschüren "Anwendung von Fraktalen" und "Fraktale um uns herum"
• Wir veranstalteten ein Festival "Die erstaunliche Welt der Fraktale" für Schüler der Klassen 8-11.

Wir können also mit vollem Vertrauen über die enorme praktische Anwendung von Fraktalen und Fraktalalgorithmen heute sprechen.

Das Spektrum der Bereiche, in denen Fraktale verwendet werden, ist sehr umfangreich und vielfältig.

Und sicher werden in naher Zukunft Fraktale, fraktale Geometrie, für jeden von uns nah und verständlich werden. Wir können in unserem Leben nicht ohne sie auskommen!

Hoffen wir, dass die Entstehung der fraktalen Geometrie ein Beweis für die fortschreitende Entwicklung des Menschen und die Erweiterung seiner Art, die Welt zu kennen und zu verstehen, ist. Vielleicht werden unsere Kinder genauso einfach und sinnvoll mit den Konzepten der Fraktale und der nichtlinearen Dynamik arbeiten wie mit den Konzepten der klassischen Physik, der euklidischen Geometrie.

Projektergebnisse

• Wir haben die Entstehungs- und Entwicklungsgeschichte der fraktalen Geometrie kennengelernt;
• Wir haben die Arten von Fraktalen untersucht, ihre Anwendung in der modernen Welt.
• Erstellt unsere eigenen Fraktale in den Programmiersprachen Pascal und Logo
• Erstellt eine wissenschaftliche Arbeit über Fraktale.
• Erstellt Broschüren "Fraktale um uns herum" und "Anwendung von Fraktalen"
• Wir veranstalteten ein Festival "The Amazing World of Fractals" für Schüler der Klassen 8-11.

Ich bin in der Fernsehserie "Jeremiah" auf die Erwähnung von "Theorie der Fraktale" gestoßen und interessierte mich für diese ziemlich elegante Theorie, mit der moderne Metaphysiker die Existenz Gottes beweisen. Die Fraktaltheorie hat ein sehr junges Alter. Es erschien Ende der sechziger Jahre an der Schnittstelle von Mathematik, Informatik, Linguistik und Biologie. Zu dieser Zeit drangen Computer immer mehr in das Leben der Menschen ein, Wissenschaftler begannen, sie für ihre Forschung zu verwenden, und die Zahl der Computerbenutzer wuchs. Für den Masseneinsatz von Computern wurde es notwendig, den Kommunikationsprozess zwischen Mensch und Maschine zu erleichtern. Wenn zu Beginn des Computerzeitalters einige Benutzerprogrammierer selbstlos Befehle in Maschinencodes eingaben und Ergebnisse in Form von endlosen Papierbändern erhielten, wurde es bei einem massiven und geschäftigen Modus der Computernutzung notwendig, eine Programmiersprache zu erfinden, die für eine Maschine und in einer Maschine verständlich wäre Gleichzeitig wäre es leicht zu erlernen und anzuwenden. Das heißt, der Benutzer müsste nur einen Befehl eingeben, und der Computer würde ihn in einfachere Befehle zerlegen und diese bereits ausführen. Um das Schreiben von Übersetzern an der Schnittstelle von Informatik und Linguistik zu erleichtern, entstand die Fraktaltheorie, die es ermöglicht, die Beziehung zwischen algorithmischen Sprachen genau zu definieren. Und der dänische Mathematiker und Biologe A. Lindenmeer erfand 1968 eine solche Grammatik, die er L-System nannte und die seiner Ansicht nach auch das Wachstum lebender Organismen simuliert, insbesondere die Bildung von Büschen und Zweigen in Pflanzen.

Ein Fraktal (lateinischer Fraktus - zerquetscht, gebrochen, gebrochen) ist eine komplexe geometrische Figur mit der Eigenschaft der Selbstähnlichkeit, dh aus mehreren Teilen zusammengesetzt, von denen jeder der gesamten Figur als Ganzes ähnlich ist. Im weiteren Sinne werden Fraktale als Punktmengen im euklidischen Raum verstanden, die eine gebrochene metrische Dimension (im Sinne von Minkowski oder Hausdorff) oder eine metrische Dimension haben, die streng größer als die topologische ist. Fraktale Form der Blumenkohl-Unterart (Brassica cauliflora). Ein Fraktal ist eine unendlich selbstähnliche geometrische Figur, deren Fragment sich beim Verkleinern wiederholt.

Benoit Mandelbrot kann zu Recht als Vater von Fraktalen angesehen werden. Mandelbrot ist der Erfinder des Begriffs "Fraktal". Mandelbrot
schrieb: „Ich habe mir das Wort„ Fraktal “ausgedacht und dabei das lateinische Adjektiv„ Fraktus “zugrunde gelegt, was unregelmäßig, rekursiv bedeutet.
fragmentarisch ". Die erste Definition von Fraktalen wurde auch von B. Mandelbrot gegeben. Die Abbildung zeigt nur das klassische fraktale Modell - das Mandelbrot-Set.

Um es primitiv auszudrücken, die Theorie eines Fraktals ist die Fähigkeit chaotischer Strukturen, sich selbst in ein System zu reorganisieren. Attraktor (Englisch anziehen - anziehen, anziehen) ist eine Reihe von Zuständen (genauer gesagt Punkte des Phasenraums) eines dynamischen Systems, zu denen es im Laufe der Zeit tendiert. Die einfachsten Varianten des Attraktors sind ein attraktiver Fixpunkt (zum Beispiel beim Problem eines Pendels mit Reibung) und eine periodische Flugbahn (zum Beispiel selbsterregte Schwingungen in einer positiven Rückkopplungsschleife), aber es gibt auch viel komplexere Beispiele. Einige dynamische Systeme sind immer chaotisch, aber in den meisten Fällen wird chaotisches Verhalten nur in den Fällen beobachtet, in denen die Parameter des dynamischen Systems zu einem bestimmten Unterraum gehören.

Am interessantesten sind Fälle von chaotischem Verhalten, bei denen eine große Anzahl von Anfangsbedingungen zu einer Änderung der Umlaufbahnen des Attraktors führt. Eine einfache Möglichkeit, einen chaotischen Attraktor zu demonstrieren, besteht darin, an einem Punkt im Anziehungsbereich des Attraktors zu beginnen und dann seine nachfolgende Umlaufbahn grafisch darzustellen. Aufgrund des Zustands der topologischen Transitivität sieht es aus wie eine Bildabbildung eines vollständigen endlichen Attraktors. Beispielsweise ist in einem System, das ein Pendel beschreibt, der Raum zweidimensional und besteht aus Positions- und Geschwindigkeitsdaten. Sie können die Position des Pendels und seine Geschwindigkeit zeichnen. Die Ruheposition des Pendels ist ein Punkt, und eine Schwingungsperiode wird in der Grafik als einfache geschlossene Kurve angezeigt. Ein Diagramm in Form einer geschlossenen Kurve wird als Umlaufbahn bezeichnet. Das Pendel hat eine unendliche Anzahl solcher Bahnen, die anscheinend eine Ansammlung verschachtelter Ellipsen bilden.

Die meisten Bewegungsarten werden durch einfache Attraktoren beschrieben, bei denen es sich um begrenzte Zyklen handelt. Chaotische Bewegung wird durch seltsame Attraktoren beschrieben, die sehr komplex sind und viele Parameter haben. Zum Beispiel beschreibt der berühmte Lorenz-Attraktor ein einfaches dreidimensionales Wettersystem - eines der bekanntesten Diagramme chaotischer Systeme, nicht nur, weil es eines der ersten war, sondern auch, weil es eines der komplexesten ist. Ein weiterer solcher Attraktor ist die Rössler-Karte, die ähnlich wie die Logistikkarte eine doppelte Periode aufweist. Seltsame Attraktoren erscheinen in beiden Systemen und in kontinuierlicher Dynamik (wie das Lorentz-System) und in einigen diskreten (zum Beispiel den Hénon-Karten). Einige diskrete dynamische Systeme werden nach Ursprung Julia-Systeme genannt. Sowohl seltsame Attraktoren als auch Julia-Systeme haben eine typische rekursive fraktale Struktur. Das Poincaré-Bendixson-Theorem beweist, dass ein seltsamer Attraktor in einem kontinuierlichen dynamischen System nur dann entstehen kann, wenn es drei oder mehr Dimensionen hat. Diese Einschränkung funktioniert jedoch nicht für diskrete dynamische Systeme. Diskrete zwei- und sogar eindimensionale Systeme können seltsame Attraktoren haben. Die Bewegung von drei oder mehr Körpern, die unter bestimmten Anfangsbedingungen eine Anziehungskraft erfahren, kann sich als chaotische Bewegung herausstellen.

Die Eigenschaft chaotischer Systeme, sich mit Hilfe falscher Attraktoren selbst zu organisieren, ist nach Ansicht einiger Mathematiker ein unbeweisbarer Beweis für die Existenz Gottes und seine Energie der Schöpfung aller Dinge. Rätsel!

Chaos ist eine Ordnung, die entschlüsselt werden muss.

Jose Saramago, Das Doppelte

„Das 20. Jahrhundert wird für zukünftige Generationen nur dank der Schaffung der Relativitätstheorien, der Quantenmechanik und des Chaos in Erinnerung bleiben ... Die Relativitätstheorie hat Newtons Illusionen über die absolute Raumzeit beseitigt, die Quantenmechanik hat den Traum vom Determinismus physikalischer Ereignisse zerstreut und schließlich das Chaos von Laplace entlarvt vollständige Vorbestimmung der Systementwicklung “. Diese Worte des berühmten amerikanischen Historikers und Popularisierers der Wissenschaft, James Gleick, spiegeln die enorme Bedeutung des Themas wider, die in dem Artikel, der dem Leser angeboten wird, nur kurz behandelt wird. Unsere Welt ist aus dem Chaos hervorgegangen. Wenn das Chaos jedoch seinen eigenen Gesetzen nicht gehorchte und keine spezielle Logik darin war, konnte es nichts erzeugen.

Neu ist gut vergessen alt

Lassen Sie mich noch ein Zitat von Gleick nehmen:

Der Gedanke an eine innere Ähnlichkeit, dass das Große in das Kleine investiert werden kann, hat die menschliche Seele lange gestreichelt ... Laut Leibniz enthält ein Wassertropfen die ganze Welt in Farben, in der Wasserspritzer funkeln und andere unbekannte Universen leben. "Sehen Sie die Welt in einem Sandkorn" - drängte Blake, und einige Wissenschaftler versuchten, seinem Befehl zu folgen. Die ersten Forscher der Samenflüssigkeit neigten dazu, in jedem Sperma eine Art Homunkulus zu sehen, dh einen winzigen, aber bereits voll ausgebildeten Mann.

Eine Retrospektive solcher Ansichten kann viel weiter in die Tiefen der Geschichte gedreht werden. Eines der Grundprinzipien der Magie - ein wesentlicher Bestandteil der Entwicklung einer Gesellschaft - ist das Postulat: Der Teil ist wie das Ganze. Er manifestierte sich in solchen Handlungen wie dem Begraben des Schädels eines Tieres anstelle des gesamten Tieres, eines Modells eines Streitwagens anstelle des Streitwagens selbst usw. Unter Beibehaltung des Schädels des Vorfahren glaubten die Verwandten, dass er weiterhin neben ihnen lebte und an ihren Angelegenheiten teilnahm.

Sogar der antike griechische Philosoph Anaxagoras betrachtete die Hauptelemente des Universums als Teilchen, die anderen Teilchen des Ganzen und des Ganzen selbst ähnlich sind, "unendlich in Menge und Kleinheit". Aristoteles charakterisierte die Elemente von Anaxagoras mit dem Adjektiv "ähnlich".

Und unser zeitgenössischer amerikanischer Kybernetiker Ron Eglash, der die Kultur afrikanischer Stämme und südamerikanischer Indianer erforschte, machte eine Entdeckung: Einige von ihnen haben seit der Antike fraktale Konstruktionsprinzipien in Ornamenten, Mustern auf Kleidung und Haushaltsgegenständen, in Schmuck, rituellen Zeremonien und sogar in die Architektur. So ist die Struktur der Dörfer einiger afrikanischer Stämme ein Kreis, in dem es kleine Kreise gibt - Häuser, in denen noch kleinere Kreise Häuser von Geistern sind. Bei anderen Stämmen dienen anstelle von Kreisen andere Figuren als Elemente der Architektur, sie wiederholen sich jedoch auch in verschiedenen Maßstäben und unterliegen einer einzigen Struktur. Darüber hinaus waren diese Konstruktionsprinzipien keine einfache Nachahmung der Natur, sondern stimmten mit der vorherrschenden Weltanschauung und sozialen Organisation überein.

Unsere Zivilisation scheint weit von der primitiven Existenz entfernt zu sein. Wir leben jedoch weiterhin in derselben Welt, wir sind immer noch von der Natur umgeben und leben nach ihren eigenen Gesetzen, trotz aller menschlichen Versuche, sie an unsere Bedürfnisse anzupassen. Und der Mensch selbst (vergessen wir es nicht) bleibt ein Teil dieser Natur.

Gert Eilenberger, ein deutscher Physiker, der sich mit Nichtlinearität befasst, bemerkte einmal:

Warum wird die Silhouette eines nackten Baumes, der unter dem Druck eines stürmischen Windes vor dem Hintergrund eines düsteren Winterhimmels gebogen wird, als schön empfunden, und die Umrisse eines modernen multifunktionalen Gebäudes scheinen trotz aller Bemühungen des Architekten überhaupt nicht so zu sein? Es scheint mir, dass ... unser Sinn für Schönheit durch die harmonische Kombination von Ordnung und Unordnung "angeheizt" wird, die in natürlichen Phänomenen beobachtet werden kann: Wolken, Bäume, Gebirgszüge oder Kristalle von Schneeflocken. Alle diese Konturen sind dynamische Prozesse, die in physischen Formen eingefroren sind, und eine Kombination aus Stabilität und Chaos ist typisch für sie.

An den Ursprüngen der Chaostheorie

Was meinen wir damit? chaos? Die Unfähigkeit, das Verhalten des Systems vorherzusagen, führt zu unregelmäßigen Sprüngen in verschiedene Richtungen, die niemals zu einer geordneten Sequenz werden.

Der erste Forscher des Chaos gilt als der französische Mathematiker, Physiker und Philosoph Henri Poincaré. Zurück am Ende des 19. Jahrhunderts. Als er das Verhalten eines Systems mit drei Körpern untersuchte, die durch Gravitation interagieren, stellte er fest, dass es möglicherweise nichtperiodische Umlaufbahnen gibt, die sich ständig von einem bestimmten Punkt entfernen und sich ihm nicht nähern.

Traditionelle Methoden der Geometrie, die in den Naturwissenschaften weit verbreitet sind, basieren auf der Annäherung der Struktur des untersuchten Objekts durch geometrische Figuren, beispielsweise Linien, Ebenen, Kugeln, deren metrische und topologische Dimensionen gleich sind. In den meisten Fällen werden die Eigenschaften des untersuchten Objekts und seine Wechselwirkung mit der Umgebung durch integrale thermodynamische Eigenschaften beschrieben, die zum Verlust eines erheblichen Teils der Informationen über das System und zu dessen Ersatz durch ein mehr oder weniger geeignetes Modell führen. Meistens ist eine solche Vereinfachung durchaus gerechtfertigt, aber es gibt zahlreiche Situationen, in denen die Verwendung topologisch unangemessener Modelle nicht akzeptabel ist. Ein Beispiel für eine solche Diskrepanz wurde in seiner Doktorarbeit (jetzt Doktor der chemischen Wissenschaften) von Vladimir Konstantinovich Ivanov gegeben: Sie zeigt sich bei der Messung der Fläche einer entwickelten (zum Beispiel porösen) Oberfläche von Festkörpern unter Verwendung von Sorptionsmethoden, die Adsorptionsisothermen registrieren. Es stellte sich heraus, dass die Größe der Fläche von der linearen Größe der "messenden" Moleküle nicht quadratisch abhängt, was aus den einfachsten geometrischen Überlegungen zu erwarten wäre, sondern mit einem Exponenten, der sich manchmal drei nähert.

Wettervorhersagen sind eines der Probleme, mit denen die Menschheit seit der Antike zu kämpfen hat. Zu diesem Thema gibt es eine bekannte Anekdote, in der die Wettervorhersage entlang einer Kette vom Schamanen zum Rentierhirten, dann zum Geologen, dann zum Herausgeber des Radioprogramms übertragen wird und sich schließlich der Kreis schließt, da sich herausstellt, dass der Schamane die Vorhersage im Radio gelernt hat. Eine Beschreibung eines so komplexen Systems wie Wetter mit vielen Variablen kann nicht auf einfache Modelle reduziert werden. Diese Aufgabe begann mit der Verwendung von Computern zur Modellierung nichtlinearer dynamischer Systeme. Der amerikanische Meteorologe und Mathematiker Edward Norton Lorenz, einer der Begründer der Chaostheorie, widmete sich viele Jahre dem Problem der Wettervorhersage. In den 60er Jahren des letzten Jahrhunderts versuchte er, die Gründe für die Unzuverlässigkeit von Wettervorhersagen zu verstehen, und zeigte, dass der Zustand eines komplexen dynamischen Systems stark von den Anfangsbedingungen abhängen kann: Eine geringfügige Änderung eines von vielen Parametern kann das erwartete Ergebnis dramatisch verändern. Lorenz nannte diese Abhängigkeit den Schmetterlingseffekt: "Das heutige Flattern der Flügel einer Motte in Peking in einem Monat könnte einen Hurrikan in New York verursachen." Er wurde berühmt für seine Arbeit über die allgemeine Zirkulation der Atmosphäre. Lorenz untersuchte das Gleichungssystem mit drei Variablen, die den Prozess beschreiben, und zeigte die Ergebnisse seiner Analyse grafisch an: Die Diagrammlinien repräsentieren die Koordinaten der Punkte, die durch Lösungen im Raum dieser Variablen bestimmt wurden (Abb. 1). Die resultierende Doppelhelix heißt lorenz Attraktor(oder "seltsamer Attraktor"), sah aus wie etwas unendlich Verwirrendes, befand sich aber immer innerhalb bestimmter Grenzen und wiederholte sich nie. Die Bewegung im Attraktor ist abstrakt (die Variablen können Geschwindigkeit, Dichte, Temperatur usw. sein) und vermittelt dennoch die Merkmale realer physikalischer Phänomene wie die Bewegung eines Wasserrads, die Konvektion in einer geschlossenen Schleife, die Strahlung eines Einmodenlasers, dissipative harmonische Schwingungen (deren Parameter) spielen die Rolle der entsprechenden Variablen).

Von den Tausenden von Veröffentlichungen, aus denen sich die Fachliteratur zum Problem des Chaos zusammensetzte, wurde kaum eine häufiger zitiert als der 1963 von Lorentz verfasste Artikel "Deterministischer nichtperiodischer Fluss". Obwohl Computersimulationen die Wettervorhersage bereits während dieser Arbeit von einer „Kunst zu einer Wissenschaft“ gemacht haben, waren Langzeitvorhersagen immer noch unzuverlässig und unzuverlässig. Der Grund dafür war der Schmetterlingseffekt.

In den gleichen 1960er Jahren versammelte der Mathematiker Stephen Smale von der University of California eine Forschungsgruppe junger Gleichgesinnter in Berkeley. Zuvor war er mit der Fields-Medaille für herausragende topologische Forschung ausgezeichnet worden. Smale untersuchte dynamische Systeme, insbesondere nichtlineare chaotische Oszillatoren. Um die gesamte Störung des Van-der-Pol-Oszillators im Phasenraum zu reproduzieren, schuf er eine Struktur, die als Hufeisen bekannt ist - ein Beispiel für ein dynamisches System mit chaotischer Dynamik.

„Hufeisen“ (Abb. 2) ist ein genaues und sichtbares Bild einer starken Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen: Sie wissen nach mehreren Iterationen nie, wo der Ausgangspunkt liegt. Dieses Beispiel diente als Anstoß für die Erfindung des russischen Mathematikers, eines Experten für die Theorie dynamischer Systeme und Differentialgleichungen, Differentialgeometrie und Topologie, Dmitry Viktorovich Anosov, "Anosov diffeomorphisms". Später entstand aus diesen beiden Arbeiten die Theorie hyperbolischer dynamischer Systeme. Es dauerte ein Jahrzehnt, bis Smales Arbeit in anderen Disziplinen Beachtung fand. "Als es passierte, stellten die Physiker fest, dass Smale einen ganzen Zweig der Mathematik auf die reale Welt ausgerichtet hatte."

1972 las der Mathematiker James Yorke von der University of Maryland das oben erwähnte Papier von Lorenz, was ihn verblüffte. York sah in dem Artikel ein lebendiges physikalisches Modell und betrachtete es als seine heilige Pflicht, den Physikern zu vermitteln, was sie in den Werken von Lorenz und Smale nicht erkannten. Er leitete eine Kopie von Lorenz 'Artikel an Smale weiter. Er war erstaunt, als er feststellte, dass ein obskurer Meteorologe (Lorenz) zehn Jahre zuvor diese Störung entdeckt hatte, die er selbst einst als mathematisch unglaublich betrachtete, und Kopien an alle seine Kollegen sandte.

Der Biologe Robert May, ein Freund von York, hat Veränderungen in der Tierpopulation untersucht. May trat in die Fußstapfen von Pierre Verhlust, der bereits 1845 auf die Unvorhersehbarkeit von Veränderungen in der Anzahl der Tiere aufmerksam machte und zu dem Schluss kam, dass die Bevölkerungswachstumsrate ein variabler Wert ist. Mit anderen Worten, der Prozess erweist sich als nicht linear. May versuchte zu verstehen, was mit der Bevölkerung passiert, wenn sich die Wachstumsratenschwankungen einem kritischen Punkt (Bifurkationspunkt) nähern. Durch Variation der Werte dieses nichtlinearen Parameters entdeckte er, dass grundlegende Änderungen im Wesen des Systems möglich sind: Eine Erhöhung des Parameters bedeutete eine Erhöhung des Nichtlinearitätsgrades, was wiederum nicht nur die quantitativen, sondern auch die qualitativen Eigenschaften des Ergebnisses veränderte. Eine solche Operation beeinflusste sowohl den Endwert der im Gleichgewicht befindlichen Bevölkerungsgröße als auch ihre Fähigkeit, letztere im Allgemeinen zu erreichen. Unter bestimmten Umständen wich die Periodizität dem Chaos, Schwankungen, die nie ausgestorben waren.

York analysierte die in seiner Arbeit beschriebenen Phänomene mathematisch und bewies, dass in jedem eindimensionalen System Folgendes passiert: Wenn ein regelmäßiger Zyklus mit drei Wellen auftritt (sanfte Anstiege und Abfälle der Werte eines Parameters), wird das System in Zukunft zeigen, wie korrekt Zyklen einer anderen Dauer sind und völlig chaotisch. (Wie sich einige Jahre nach der Veröffentlichung des Artikels auf einer internationalen Konferenz in Ostberlin herausstellte, war der sowjetische (ukrainische) Mathematiker Alexander Nikolaevich Sharkovsky York in seinen Forschungen etwas voraus). Yorke schrieb einen Artikel für die bekannte wissenschaftliche Publikation American Mathematical Monthly. Yorke erzielte jedoch mehr als nur ein mathematisches Ergebnis: Er demonstrierte den Physikern, dass das Chaos allgegenwärtig, stabil und strukturiert ist. Er gab Anlass zu der Annahme, dass komplexe Systeme, die traditionell durch schwer zu lösende Differentialgleichungen beschrieben werden, mit Hilfe visueller Graphen dargestellt werden können.

May versuchte, die Biologen darauf aufmerksam zu machen, dass Tierpopulationen mehr als nur geordnete Zyklen durchlaufen. Auf dem Weg zum Chaos entsteht eine ganze Kaskade von Periodenverdopplungen. An den Bifurkationspunkten könnte eine leichte Steigerung der Fruchtbarkeit von Individuen beispielsweise dazu führen, dass der Vierjahreszyklus der Zigeunermottenpopulation durch einen Achtjahreszyklus ersetzt wird. Der Amerikaner Mitchell Feigenbaum beschloss, zunächst die genauen Werte des Parameters zu berechnen, der solche Änderungen hervorrief. Seine Berechnungen zeigten, dass es egal war, wie groß die ursprüngliche Population war - sie näherte sich immer noch dem Attraktor. Dann, mit der ersten Verdoppelung der Perioden, gabelte sich der Attraktor wie eine sich teilende Zelle. Dann trat die nächste Multiplikation von Perioden auf und jeder Punkt des Attraktors begann sich wieder zu teilen. Die Zahl - die von Feigenbaum erhaltene Invariante - ermöglichte es ihm, genau vorherzusagen, wann dies geschehen wird. Der Wissenschaftler entdeckte, dass er diesen Effekt für den komplexesten Attraktor vorhersagen konnte - an zwei, vier, acht Punkten ... In der Sprache der Ökologie konnte er die tatsächliche Anzahl vorhersagen, die in Populationen während jährlicher Schwankungen erreicht wird. So entdeckte Feigenbaum 1976 die "Periodenverdopplungskaskade", die sich auf Mays Arbeit und seine Turbulenzstudien stützte. Seine Theorie spiegelte das Naturgesetz wider, das für alle Systeme gilt, die einen Übergang vom geordneten zum Chaos durchlaufen. York, May und Feigenbaum waren die ersten im Westen, die die Bedeutung der Periodenverdopplung vollständig verstanden und diese Idee der gesamten wissenschaftlichen Gemeinschaft vermitteln konnten. May erklärte, dass Chaos gelehrt werden muss.

Sowjetische Mathematiker und Physiker forschten unabhängig von ausländischen Kollegen weiter. Die Untersuchung des Chaos wurde in den 1950er Jahren von A. N. Kolmogorov initiiert. Die Ideen ausländischer Kollegen blieben jedoch nicht ohne ihre Aufmerksamkeit. Die Pioniere der Chaostheorie sind die sowjetischen Mathematiker Andrei Nikolaevich Kolmogorov und Vladimir Igorevich Arnold sowie der deutsche Mathematiker Jürgen Moser, der eine Chaostheorie namens KAM (Kolmogorov-Arnold-Moser-Theorie) aufbaute. Ein anderer herausragender Landsmann von uns, ein brillanter Physiker und Mathematiker, Yakov Grigorievich Sinai, wandte ähnliche Überlegungen an wie das "Smale-Hufeisen" in der Thermodynamik. Kaum in den 70er Jahren lernten westliche Physiker Lorentz 'Werk kennen, als es in der UdSSR berühmt wurde. 1975, als York und May noch erhebliche Anstrengungen unternahmen, um die Aufmerksamkeit ihrer Kollegen zu erregen, organisierten Sinai und seine Kameraden eine Forschungsgruppe in Gorki, um dieses Problem zu untersuchen.

Im letzten Jahrhundert, als eine enge Spezialisierung und Dissoziation zwischen verschiedenen Disziplinen in der Wissenschaft zur Norm wurde, kämpften Mathematiker, Physiker, Biologen, Chemiker, Physiologen und Ökonomen um ähnliche Probleme, ohne sich zu hören. Ideen, die eine Änderung der vertrauten Weltanschauung erfordern, haben immer Schwierigkeiten, ihren Weg zu finden. Allmählich wurde jedoch klar, dass Dinge wie Veränderungen der Tierpopulationen, Preisschwankungen auf dem Markt, Wetteränderungen, Verteilung der Himmelskörper in der Größe und vieles mehr denselben Gesetzen folgen. "Die Erkenntnis dieser Tatsache zwang die Manager, ihre Einstellung zur Versicherung zu überdenken, und die Astronomen - aus einem anderen Blickwinkel des Sonnensystems, die Politiker -, ihre Meinung über die Ursachen bewaffneter Konflikte zu ändern."

Mitte der achtziger Jahre hatte sich die Situation dramatisch verändert. Die Ideen der fraktalen Geometrie vereinten Wissenschaftler, die durch ihre eigenen Beobachtungen verwirrt waren und nicht wussten, wie sie zu interpretieren waren. Für Chaosforscher ist Mathematik zu einer experimentellen Wissenschaft geworden, Computer haben Labore ersetzt. Grafische Bilder sind von größter Bedeutung geworden. Die neue Wissenschaft hat der Welt eine besondere Sprache gegeben, neue Konzepte: Phasenporträt, Attraktor, Gabelung, Abschnitt des Phasenraums, fraktale ...

Benoit Mandelbrot stützte sich auf die Ideen und Arbeiten von Vorgängern und Zeitgenossen und zeigte, dass komplexe Prozesse wie Baumwachstum, Wolkenbildung, Unterschiede in den wirtschaftlichen Merkmalen oder die Anzahl der Tierpopulationen von im Wesentlichen ähnlichen Naturgesetzen bestimmt werden. Dies sind bestimmte Muster, nach denen das Chaos lebt. Unter dem Gesichtspunkt der natürlichen Selbstorganisation sind sie viel einfacher als künstliche Formen, die einer zivilisierten Person vertraut sind. Sie können nur im Kontext der euklidischen Geometrie als komplex erkannt werden, da Fraktale durch Angabe eines Algorithmus bestimmt werden und daher mit einer kleinen Menge an Informationen beschrieben werden können.

Fraktale Geometrie der Natur

Versuchen wir herauszufinden, was ein Fraktal ist und "womit es gegessen wird". Und Sie können wirklich einige davon essen, wie zum Beispiel einen typischen Vertreter auf dem Foto.

Wort fraktalkommt aus dem Lateinischen fraktus - zerquetscht, zerbrochen, in Stücke zerschlagen. Ein Fraktal bedeutet eine mathematische Menge, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit hat, dh der Skaleninvarianz.

Der Begriff "Fraktal" wurde 1975 von Mandelbrot geprägt und erlangte mit der Veröffentlichung seines Buches "The Fractal Geometry of Nature" im Jahr 1977 große Popularität. "Gib dem Monster einen gemütlichen, heimeligen Namen und du wirst überrascht sein, wie viel einfacher es sein wird, es zu zähmen!" sagte Mandelbrot. Dieser Wunsch, die untersuchten Objekte (mathematische Mengen) nah und verständlich zu machen, führte zur Geburt neuer mathematischer Begriffe wie staub, hüttenkäse, serumund zeigen deutlich ihre tiefe Verbindung mit natürlichen Prozessen.

Das mathematische Konzept eines Fraktals identifiziert Objekte mit Strukturen verschiedener Skalen, sowohl großer als auch kleiner, und spiegelt somit das hierarchische Organisationsprinzip wider. Natürlich können die verschiedenen Zweige eines Baumes beispielsweise nicht genau zueinander ausgerichtet werden, aber sie können im statistischen Sinne als ähnlich angesehen werden. Ebenso erscheinen Wolkenformen, Gebirgsumrisse, Küstenlinien, Flammen, Gefäße, Schluchten, Blitze, die in verschiedenen Maßstäben betrachtet werden, ähnlich. Obwohl sich diese Idealisierung als Vereinfachung der Realität herausstellen mag, erhöht sie die Tiefe der mathematischen Beschreibung der Natur erheblich.

Mandelbrot führte das Konzept des "natürlichen Fraktals" ein, um natürliche Strukturen zu bezeichnen, die mit fraktalen Mengen beschrieben werden können. Diese natürlichen Objekte enthalten ein Element des Zufalls. Die von Mandelbrot entwickelte Theorie ermöglicht es, alle Formen, die zuvor als verwirrt, wellig, rau usw. bezeichnet wurden, quantitativ und qualitativ zu beschreiben.

Die oben genannten dynamischen Prozesse, die sogenannten Rückkopplungsprozesse, treten bei verschiedenen physikalischen und mathematischen Problemen auf. Alle haben eines gemeinsam - den Wettbewerb mehrerer Zentren (sogenannte "Attraktoren") um die Dominanz im Flugzeug. Der Zustand, in dem sich das System nach einer bestimmten Anzahl von Iterationen befindet, hängt von seinem "Startort" ab. Daher entspricht jeder Attraktor einem bestimmten Bereich von Anfangszuständen, aus denen das System notwendigerweise in den betrachteten Endzustand fällt. Somit wird der Phasenraum des Systems (der abstrakte Raum von Parametern, die einem bestimmten dynamischen System zugeordnet sind, die Punkte, in denen alle seine möglichen Zustände eindeutig charakterisiert werden) unterteilt anziehungspunkteattraktoren. Es gibt eine Art Rückkehr zur Dynamik des Aristoteles, nach der jeder Körper zu seinem beabsichtigten Ort tendiert. Durch solche Rivalitäten entstehen selten einfache Grenzen zwischen "zusammenhängenden Gebieten". In diesem Grenzgebiet findet der Übergang von einer Existenzform zu einer anderen statt: von Ordnung zu Chaos. Die allgemeine Form des Ausdrucks für das dynamische Gesetz ist sehr einfach: x n + 1 → f x n C. Die Schwierigkeit liegt in der nichtlinearen Beziehung zwischen dem Anfangswert und dem Ergebnis. Wenn wir einen iterativen Prozess des angegebenen Typs von einem beliebigen Wert \\ (x_0 \\) aus starten, ist das Ergebnis eine Folge \\ (x_1 \\), \\ (x_2 \\), ..., die entweder gegen einen Grenzwert \\ (X \\) konvergiert. Das Streben nach einem Ruhezustand wird entweder zu einem bestimmten Bedeutungszyklus kommen, der sich immer wieder wiederholt, oder sich die ganze Zeit zufällig und unvorhersehbar verhalten. Diese Prozesse wurden im Ersten Weltkrieg von den französischen Mathematikern Gaston Julia und Pierre Fato untersucht.

Als Mandelbrot die von ihnen entdeckten Mengen studierte, kam er 1979 zu dem Bild auf der komplexen Ebene des Bildes, das, wie aus dem Folgenden hervorgeht, eine Art Inhaltsverzeichnis für eine ganze Klasse von Formen ist, die Julia-Mengen genannt werden. Die Julia-Menge ist eine Menge von Punkten, die sich aus der Iteration einer quadratischen Transformation ergeben: x n → x n - 1 2 + C, deren Dynamik in Bezug auf kleine Störungen der Ausgangsposition instabil ist. Jeder aufeinanderfolgende Wert \\ (x \\) wird aus dem vorherigen erhalten; eine komplexe Zahl \\ (C \\) wird aufgerufen steuerparameter... Das Verhalten der Zahlenfolge hängt vom Parameter \\ (C \\) und dem Startpunkt \\ (x_0 \\) ab. Wenn wir \\ (C \\) korrigieren und \\ (x_0 \\) im Feld komplexer Zahlen ändern, erhalten wir die Julia-Menge. Wenn wir \\ (x_0 \\) \u003d 0 fixieren und \\ (C \\) ändern, erhalten wir die Mandelbrot-Menge (\\ (M \\)). Es sagt uns, welche Art von Julia-Set für eine bestimmte Auswahl von \\ (C \\) zu erwarten ist. Jede komplexe Zahl \\ (C \\) gehört entweder zur Domäne \\ (M \\) (schwarz in Fig. 3) oder nicht. \\ (C \\) gehört genau dann zu \\ (M \\), wenn der "kritische Punkt" \\ (x_0 \\) \u003d 0 nicht gegen unendlich tendiert. Die Menge \\ (M \\) besteht aus allen Punkten \\ (C \\), die verbundenen Julia-Mengen zugeordnet sind. Wenn der Punkt \\ (C \\) jedoch außerhalb der Menge \\ (M \\) liegt, wird die damit verbundene Julia-Menge getrennt. Die Grenze der Menge \\ (M \\) bestimmt den Moment des mathematischen Phasenübergangs für Julia-Mengen x n → x n - 1 2 + C. Wenn der Parameter \\ (C \\) \\ (M \\) verlässt, verlieren Julia-Sets ihre Konnektivität, im übertragenen Sinne, explodieren und verwandeln sich in Staub. Ein qualitativer Sprung, der an der Grenze \\ (M \\) auftritt, wirkt sich auch auf den Bereich neben der Grenze aus. Die komplexe dynamische Struktur des Grenzbereichs kann ungefähr dargestellt werden, indem (konventionell) die Zonen mit der gleichen Zeit "Flucht ins Unendliche des Anfangspunkts \\ (x_0 \\) \u003d 0" in verschiedenen Farben gemalt werden. Die Werte \\ (C \\) (ein Farbton), bei denen der kritische Punkt erfordert, dass eine bestimmte Anzahl von Iterationen außerhalb des Kreises mit dem Radius \\ (N \\) liegt, füllen die Lücke zwischen den beiden Linien. Wenn wir uns der Grenze \\ (M \\) nähern, erhöht sich die erforderliche Anzahl von Iterationen. Der Punkt wird zunehmend gezwungen, auf gewundenen Pfaden in der Nähe des Julia-Sets zu wandern. Das Mandelbrot-Set verkörpert den Prozess des Übergangs von Ordnung zu Chaos.

Es ist interessant, den Weg zu verfolgen, den Mandelbrot zu seinen Entdeckungen gegangen ist. Benoit wurde 1924 in Warschau geboren, 1936 wanderte die Familie nach Paris aus. Nach seinem Abschluss an der Ecole Polytechnique und anschließend an der Universität in Paris zog Mandelbrot in die USA, wo er auch am California Institute of Technology studierte. 1958 trat er dem IBM Research Center in Yorktown bei. Trotz der rein angewandten Aktivitäten des Unternehmens ermöglichte ihm seine Position, in verschiedenen Bereichen zu forschen. Während seiner Tätigkeit auf dem Gebiet der Wirtschaftswissenschaften begann der junge Spezialist über einen langen Zeitraum (über 100 Jahre), die Statistik der Baumwollpreise zu studieren. Bei der Analyse der Symmetrie von langfristigen und kurzfristigen Preisschwankungen stellte er fest, dass diese Schwankungen während des Tages zufällig und unvorhersehbar erschienen, die Reihenfolge solcher Änderungen jedoch nicht von der Skala abhing. Um dieses Problem zu lösen, nutzte er zunächst seine Entwicklungen der zukünftigen Fraktaltheorie und die grafische Darstellung der untersuchten Prozesse.

Mandelbrot interessierte sich für verschiedene Bereiche der Wissenschaft und wandte sich der mathematischen Linguistik zu. Dann kam die Spieltheorie an die Reihe. Er schlug auch seinen eigenen ökonomischen Ansatz vor und wies auf die Ordnungsmäßigkeit der Größenordnung bei der Ausbreitung von Städten hin. Mandelbrot studierte die wenig bekannte Arbeit des englischen Wissenschaftlers Lewis Richardson, die nach dem Tod des Autors veröffentlicht wurde, und stieß auf das Phänomen der Küste. In dem Artikel "Wie lang ist die britische Küste?" er untersucht diese Frage, über die nur wenige Menschen vor ihm nachgedacht haben, im Detail und kommt zu unerwarteten Schlussfolgerungen: Die Länge der Küste ist gleich ... unendlich! Je genauer Sie versuchen, es zu messen, desto größer ist sein Wert!

Um solche Phänomene zu beschreiben, hatte Mandelbrot die Idee, von der Idee der Dimension auszugehen. Die fraktale Dimension eines Objekts dient als quantitatives Merkmal eines seiner Merkmale, nämlich seiner Raumfüllung.

Die Definition des Konzepts der fraktalen Dimension geht auf die 1919 veröffentlichte Arbeit von Felix Hausdorff zurück und wurde schließlich von Abram Samoilovich Besicovich formuliert. Die fraktale Dimension ist ein Maß für Detail, Bruch und Rauheit eines fraktalen Objekts. Im euklidischen Raum wird die topologische Dimension immer durch eine ganze Zahl bestimmt (die Dimension eines Punktes ist 0, eine Linie ist 1, eine Ebene ist 2, ein Volumenkörper ist 3). Wenn wir zum Beispiel die Projektion eines Brownschen Teilchens auf die Bewegungsebene verfolgen, das aus Liniensegmenten zu bestehen scheint, dh Dimension 1 hat, wird sich sehr bald herausstellen, dass seine Spur fast die gesamte Ebene ausfüllt. Die Dimension der Ebene ist jedoch 2. Die Diskrepanz zwischen diesen Werten gibt uns das Recht, diese "Kurve" Fraktalen zuzuordnen und ihre mittlere (gebrochene) Dimension als Fraktal zu bezeichnen. Wenn wir die chaotische Bewegung eines Partikels im Volumen betrachten, ist die fraktale Dimension der Trajektorie größer als 2, aber kleiner als 3. Menschliche Arterien haben beispielsweise eine fraktale Dimension von etwa 2,7. Ivanovs am Anfang des Artikels erwähnte Ergebnisse zur Messung der Porenfläche von Kieselgel, die im Rahmen gewöhnlicher euklidischer Konzepte nicht interpretiert werden können, finden unter Verwendung der Fraktaltheorie eine vernünftige Erklärung.

Aus mathematischer Sicht ist ein Fraktal also eine Menge, für die die Hausdorff-Besicovitch-Dimension streng größer ist als ihre topologische Dimension und die gebrochen sein kann (und meistens ist).

Es sollte betont werden, dass die fraktale Dimension eines Objekts seine Form nicht beschreibt und Objekte, die dieselbe Dimension haben, aber durch unterschiedliche Formationsmechanismen erzeugt werden, sich häufig vollständig voneinander unterscheiden. Physikalische Fraktale sind statistisch eher selbstähnlich.

Mit der Bruchmessung können Sie Merkmale berechnen, die auf keine andere Weise klar definiert werden können: Grad der Unebenheit, Diskontinuität, Rauheit oder Instabilität eines Objekts. Zum Beispiel hat eine gewundene Küste trotz ihrer unermesslichen Länge eine Rauheit, die nur ihr eigen ist. Mandelbrot wies auf die Möglichkeiten hin, Bruchmessungen von Objekten in der umgebenden Realität zu berechnen. Er schuf seine Geometrie und legte ein Gesetz über die ungeordneten Formen vor, die in der Natur vorkommen. Das Gesetz sagte: Der Grad der Instabilität ist in verschiedenen Maßstäben konstant.

Eine besondere Art von Fraktalen sind zeitfraktale... Im Jahr 1962 stand Mandelbrot vor der Aufgabe, Störungen auf Telefonleitungen zu beseitigen, die Probleme für Computermodems verursachten. Die Signalübertragungsqualität hängt von der Fehlerwahrscheinlichkeit ab. Ingenieure haben mit rätselhaften und kostspieligen Tricks mit der Geräuschreduzierung zu kämpfen, aber sie haben keine beeindruckenden Ergebnisse erzielt. Basierend auf der Arbeit des Begründers der Mengenlehre, Georg Cantor, hat Mandelbrot gezeigt, dass das Auftreten von Lärm - die Erzeugung von Chaos - im Prinzip nicht vermieden werden kann, weshalb die vorgeschlagenen Methoden, mit ihnen umzugehen, keine Ergebnisse bringen. Auf der Suche nach der Regelmäßigkeit des Auftretens von Lärm erhält er "Cantor Dust" - eine fraktale Folge von Ereignissen. Es ist interessant, dass die Verteilung der Sterne in der Galaxie denselben Gesetzen folgt:

"Substanz", die gleichmäßig entlang des Initiators (eines Einheitssegments der Zeitachse) verteilt ist, ist einem Zentrifugalwirbel ausgesetzt, der ihn bis zu den äußersten Dritteln des Intervalls "fegt" ... Wachen Jede Kaskade instabiler Zustände, die letztendlich zu einer Verdickung der Materie führt, kann als Begriff bezeichnet werden hüttenkäse kann das Volumen bestimmen, innerhalb dessen eine bestimmte physikalische Eigenschaft - infolge des Gerinnens - extrem konzentriert wird.

Chaotische Phänomene wie atmosphärische Turbulenzen, Krustenbeweglichkeit usw. zeigen ein ähnliches Verhalten auf verschiedenen Zeitskalen, ebenso wie Objekte, die nicht skalierbar sind, ähnliche Strukturmuster auf verschiedenen räumlichen Skalen aufweisen.

Als Beispiel geben wir einige typische Situationen an, in denen es nützlich ist, das Konzept einer fraktalen Struktur zu verwenden. Christopher Scholz, Professor an der Columbia University, spezialisierte sich auf die Untersuchung der Form und Struktur der festen Materie der Erde und studierte Erdbeben. 1978 las er Mandelbrots Buch Fractals: Form, Randomness and Dimension » und versuchte, die Theorie auf die Beschreibung, Klassifizierung und Messung geophysikalischer Objekte anzuwenden. Scholz fand heraus, dass die fraktale Geometrie der Wissenschaft eine effiziente Methode zur Beschreibung der spezifischen Hügellandschaft der Erde bietet. Die fraktale Messung der Landschaften des Planeten öffnet die Tür zum Verständnis seiner wichtigsten Eigenschaften. Metallurgen haben dasselbe in einem anderen Maßstab gefunden - angewendet auf Oberflächen verschiedener Stahlsorten. Insbesondere die fraktale Messung einer Metalloberfläche ermöglicht es oft, ihre Festigkeit zu beurteilen. Eine große Anzahl fraktaler Objekte erzeugt das Phänomen der Kristallisation. Die häufigste Art von Fraktalen, die während des Kristallwachstums entstehen, sind Dendriten, die in der Natur extrem verbreitet sind. Ensembles von Nanopartikeln demonstrieren häufig die Implementierung von Levy-Staub. Diese Ensembles bilden in Kombination mit dem absorbierten Lösungsmittel transparente Kompakte - Levy-Gläser, potenziell wichtige Materialien für die Photonik.

Da Fraktale nicht in primären geometrischen Formen ausgedrückt werden, sondern in Algorithmen, Mengen mathematischer Verfahren, ist es klar, dass sich dieser Bereich der Mathematik mit der Entstehung und Entwicklung leistungsfähiger Computer sprunghaft zu entwickeln begann. Das Chaos wiederum führte zu einer neuen Computertechnologie, einer speziellen Grafiktechnik, die die erstaunlichen Strukturen von unglaublicher Komplexität reproduzieren kann, die durch verschiedene Arten von Störungen erzeugt werden. Im Zeitalter des Internets und der PCs ist das, was in den Tagen von Mandelbrot so schwierig war, für jedermann leicht zugänglich geworden. Das Wichtigste in seiner Theorie war natürlich nicht die Schaffung schöner Bilder, sondern die Schlussfolgerung, dass dieser mathematische Apparat zur Beschreibung komplexer Naturphänomene und -prozesse geeignet ist, die bisher in der Wissenschaft überhaupt nicht berücksichtigt wurden. Das Repertoire algorithmischer Elemente ist unerschöpflich.

Wenn Sie die Sprache der Fraktale beherrschen, können Sie die Form einer Wolke so klar und einfach beschreiben, wie ein Architekt ein Gebäude mit Blaupausen beschreibt, die die Sprache der traditionellen Geometrie verwenden.<...> Nur wenige Jahrzehnte sind vergangen, seit Benoit Mandelbrot sagte: „Die Geometrie der Natur ist fraktal!“ Heute können wir bereits viel mehr annehmen, nämlich dass Fraktalität ausnahmslos das Hauptprinzip der Konstruktion aller natürlichen Objekte ist.

Lassen Sie mich abschließend eine Reihe von Fotografien, die diese Schlussfolgerung veranschaulichen, und Fraktale, die mit konstruiert wurden, Ihrer Aufmerksamkeit vorstellen computer Programm Fraktaler Explorer... Unser nächster Artikel befasst sich mit dem Problem der Verwendung von Fraktalen in der Kristallphysik.

Post Scriptum

Von 1994 bis 2013 wurde eine einzigartige Arbeit der russischen Wissenschaftler "Atlas der zeitlichen Variationen natürlicher anthropogener und sozialer Prozesse" in fünf Bänden veröffentlicht - eine beispiellose Materialquelle, die die Überwachung von Daten aus Weltraum, Biosphäre, Lithosphäre, Atmosphäre, Hydrosphäre, Sozialem und Technogenem umfasst Sphären und Sphären im Zusammenhang mit der menschlichen Gesundheit und Lebensqualität. Der Text enthält Details zu den Daten und den Ergebnissen ihrer Verarbeitung und vergleicht die Merkmale der Dynamik von Zeitreihen und ihrer Fragmente. Die einheitliche Darstellung der Ergebnisse ermöglicht es, vergleichbare Ergebnisse zu erhalten, um gemeinsame und individuelle Merkmale der Prozessdynamik und der Ursache-Wirkungs-Beziehungen zwischen ihnen zu identifizieren. Experimentelles Material hat gezeigt, dass Prozesse in verschiedenen Bereichen zum einen ähnlich sind und zum anderen mehr oder weniger stark miteinander zusammenhängen.

Der Atlas fasste daher die Ergebnisse der interdisziplinären Forschung zusammen und präsentierte eine vergleichende Analyse völlig unterschiedlicher Daten in einem weiten Bereich von Zeit und Raum. Das Buch zeigt, dass „die Prozesse in den irdischen Sphären auf eine große Anzahl von Wechselwirkungsfaktoren zurückzuführen sind, die in verschiedenen Bereichen (und zu verschiedenen Zeiten) unterschiedliche Reaktionen hervorrufen“, was von der Notwendigkeit eines integrierten Ansatzes zur Analyse geodynamischer, weltraumbezogener, sozialer, wirtschaftlicher und medizinischer Beobachtungen spricht ". Es bleibt die Hoffnung auszudrücken, dass diese grundlegenden Arbeiten fortgesetzt werden.

. Jürgens H., Peitgen H.-O., Saupe D. Die Sprache der Fraktale // In der Welt der Wissenschaft. 1990. Nr. 10. S. 36–44.
. Atlas der zeitlichen Variationen natürlicher anthropogener und sozialer Prozesse. Vol. 1: Ordnung und Chaos in der Lithosphäre und anderen Sphären. M., 1994; T. 2: Zyklische Dynamik in Natur und Gesellschaft. M., 1998; Vol. 3: Natürliche und soziale Sphären als Teile der Umwelt und als Objekte des Aufpralls. M., 2002; T. 4: Der Mensch und die drei Umgebungen um ihn herum. M., 2009. T. 5: Der Mensch und drei Umgebungen um ihn herum. M., 2013.

Fraktale sind seit fast einem Jahrhundert bekannt, gut untersucht und haben zahlreiche Anwendungen im Leben. Dieses Phänomen basiert auf einer sehr einfachen Idee: Eine unendliche Anzahl von Formen, unendlich in Schönheit und Vielfalt, kann aus relativ einfachen Strukturen mit nur zwei Operationen erhalten werden - Kopieren und Skalieren

Dieses Konzept hat keine strenge Definition. Daher ist das Wort "Fraktal" kein mathematischer Begriff. Dies ist normalerweise der Begriff für eine geometrische Form, die eine oder mehrere der folgenden Eigenschaften erfüllt:

• hat bei jeder Vergrößerung eine komplexe Struktur;
• ist (ungefähr) selbstähnlich;
• hat eine fraktionierte Hausdorff (fraktale) Dimension, die topologischer ist;
• kann mit rekursiven Prozeduren erstellt werden.

Zu Beginn des 19. und 20. Jahrhunderts war das Studium der Fraktale eher episodisch als systematisch, da frühere Mathematiker hauptsächlich "gute" Objekte untersuchten, die mit allgemeinen Methoden und Theorien erforscht werden konnten. Der deutsche Mathematiker Karl Weierstrass konstruierte 1872 ein Beispiel für eine stetige Funktion, die nirgends zu unterscheiden ist. Seine Konstruktion war jedoch völlig abstrakt und schwer wahrzunehmen. Daher erfand der Schwede Helge von Koch 1904 eine kontinuierliche Kurve, die nirgendwo tangential ist und recht einfach zu zeichnen ist. Es stellte sich heraus, dass es die Eigenschaften eines Fraktals hat. Eine der Varianten dieser Kurve heißt "Koch-Schneeflocke".

Die Ideen der Selbstähnlichkeit von Figuren wurden vom Franzosen Paul Pierre Levy, dem zukünftigen Mentor von Benoit Mandelbrot, aufgegriffen. 1938 erschien sein Artikel "Ebenen- und Raumkurven und Flächen, bestehend aus Teilen, die dem Ganzen ähnlich sind", in dem ein weiteres Fraktal beschrieben wurde - die Lévy-C-Kurve. Alle diese obigen Fraktale können bedingt einer Klasse konstruktiver (geometrischer) Fraktale zugeordnet werden.

Eine andere Klasse sind dynamische (algebraische) Fraktale, die die Mandelbrot-Menge enthalten. Die ersten Studien in dieser Richtung gehen auf den Beginn des 20. Jahrhunderts zurück und sind mit den Namen der französischen Mathematiker Gaston Julia und Pierre Fatou verbunden. 1918 wurde Julias fast zweihundertseitiges Werk veröffentlicht, das sich Iterationen komplexer rationaler Funktionen widmete, in denen Julia-Mengen beschrieben wurden - eine ganze Familie von Fraktalen, die eng mit der Mandelbrot-Menge verwandt sind. Diese Arbeit wurde mit dem Preis der Französischen Akademie ausgezeichnet, enthielt jedoch keine einzige Illustration, so dass es unmöglich war, die Schönheit der entdeckten Objekte zu würdigen. Trotz der Tatsache, dass dieses Werk Julia unter den damaligen Mathematikern berühmt machte, wurde es schnell vergessen.

Die Aufmerksamkeit auf die Werke von Julia und Fatou wandte sich erst ein halbes Jahrhundert später mit dem Aufkommen der Computer wieder zu: Sie machten den Reichtum und die Schönheit der Welt der Fraktale sichtbar. Schließlich konnte Fatou die Bilder, die wir jetzt als Bilder des Mandelbrot-Sets kennen, niemals betrachten, da die erforderliche Anzahl von Berechnungen nicht manuell durchgeführt werden kann. Die erste Person, die dafür einen Computer benutzte, war Benoit Mandelbrot.

1982 wurde Mandelbrots Buch "The Fractal Geometry of Nature" veröffentlicht, in dem der Autor fast alle damals verfügbaren Informationen über Fraktale sammelte, systematisierte und auf einfache und zugängliche Weise präsentierte. In seinem Vortrag legte Mandelbrot den Schwerpunkt nicht auf umständliche Formeln und mathematische Konstruktionen, sondern auf die geometrische Intuition der Leser. Dank computergenerierter Illustrationen und historischer Geschichten, mit denen der Autor die wissenschaftliche Komponente der Monographie gekonnt verwässerte, wurde das Buch zum Bestseller, und Fraktale wurden der Öffentlichkeit bekannt. Ihr Erfolg unter Nicht-Mathematikern beruht hauptsächlich auf der Tatsache, dass mit Hilfe sehr einfacher Konstruktionen und Formeln, die ein Schüler verstehen kann, Bilder von erstaunlicher Komplexität und Schönheit erhalten werden. Als PCs leistungsfähig genug wurden, trat sogar ein ganzer Trend in der Kunst auf - die fraktale Malerei, und fast jeder Computerbesitzer konnte dies tun. Jetzt im Internet finden Sie leicht viele Websites, die sich diesem Thema widmen.